Densité Spectrale de Puissance — du signal au g²/Hz
Ressource pédagogique : classification des signaux, théorème de Parseval, et sens physique de la DSP en contexte vibratoire.
1. Classification des signaux
1.1 Énergie finie ou puissance finie ?
Deux quantités fondamentales caractérisent un signal \(x(t)\) :
Un signal appartient à l'une de trois catégories :
| Catégorie | Énergie \(E\) | Puissance \(P\) | Exemples typiques |
|---|---|---|---|
| Signal énergétique | \(E < \infty\) | \(P = 0\) | Impulsion, transitoire amorti, \(\text{sinc}(t)\) |
| Signal de puissance | \(E = \infty\) | \(P < \infty\) | Sinusoïde, bruit blanc, vibration routière |
| Ni l'un ni l'autre | \(E = \infty\) | \(P = \infty\) | \(x(t) = t\), \(x(t) = e^t\) |
Intuition
Un signal qui dure indéfiniment sans s'éteindre accumule une énergie infinie, mais son niveau moyen peut rester stable — c'est un signal de puissance.
1.2 Allure temporelle des trois catégories
Signal énergétique — choc mécanique (DIN EN 60068-2-27)
Forme demi-sinusoïdale, amplitude de pointe \(A = 10\,\text{g}\), durée \(T_c = 11\,\text{ms}\) :
L'énergie est finie car le choc s'éteint :
La puissance moyenne tend vers zéro : \(P \to 0\).
Signal de puissance — vibration aléatoire routière (ASTM D4728-17)
Signal enregistré par le SAVER 3X90 pendant un transport longue durée :
- Durée : plusieurs heures à 90 jours — contenu spectral : 4 à 120 Hz
- Niveau : \(g_\text{rms} = 0{,}40\,\text{g}\)
L'énergie est infinie (signal indéfini dans le temps), mais la puissance est stable :
Ni l'un ni l'autre — rampe, exponentielle croissante
Pour \(x(t) = t\) ou \(x(t) = e^t\), l'énergie et la puissance divergent. Ces signaux ne sont pas physiquement réalisables sur \(\mathbb{R}\) entier.
1.3 Déterministe ou aléatoire ?
graph TD
S["Signal x(t)"]
S --> D["Déterministe\n<i>entièrement prévisible par une formule</i>"]
S --> A["Aléatoire / stochastique\n<i>décrit par des statistiques</i>"]
D --> DP["Périodique\nx(t+T) = x(t)\nex : sin(2πf₀t), signal carré"]
D --> DQ["Quasi-périodique\nsomme de périodiques aux périodes\nincommensurables\nex : sin(2πt) + sin(2π√2·t)"]
D --> DT["Transitoire\ndurée finie ou décroissance → 0\nex : réponse impulsionnelle, choc"]
A --> AS["Stationnaire\nstatistiques stables dans le temps"]
A --> AN["Non stationnaire\nstatistiques évoluent\nex : démarrage moteur, parole, séisme"]
AS --> ASS["Au sens strict\ntoutes les lois de probabilité invariantes"]
AS --> ASL["Au sens large (WSS)\nmoyenne et autocorrélation stables\nex : bruit thermique, vibration autoroute"]2. Le théorème de Parseval
2.1 Énoncé pour les signaux énergétiques
Pour un signal déterministe \(x(t)\) à énergie finie, le théorème de Parseval garantit l'équivalence énergétique entre domaine temporel et fréquentiel :
\(|X(f)|^2\) est la densité spectrale d'énergie (J/Hz). Son intégrale donne l'énergie totale en joules.
2.2 Exemple — impulsion rectangulaire
Soit le signal \(x(t) = A\) sur \([0, T]\), nul ailleurs. Sa transformée de Fourier est :
La vérification de Parseval :
2.3 Extension aux signaux de puissance — Wiener-Khintchine
Pour un signal aléatoire stationnaire, \(E = \infty\) : on ne peut pas appliquer Parseval directement.
La procédure en trois étapes :
Construction de la DSP
Étape 1 — Troncature : signal tronqué sur la durée \(T\) → signal énergétique \(x_T(t)\)
Étape 2 — Parseval normalisé : $\(\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} |x_T(t)|^2 \, dt = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{|X_T(f)|^2}{T} \, df\)$
Étape 3 — Passage à la limite : $\(P = \langle x^2 \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} S(f) \, df \qquad \text{avec} \quad S(f) = \lim_{T \to \infty} \frac{|X_T(f)|^2}{T}\)$
Le théorème de Wiener-Khintchine relie la DSP à la fonction d'autocorrélation \(R(\tau)\) :
2.4 Pont Parseval ↔ Wiener-Khintchine
graph LR
subgraph Energetique["Signal énergétique — choc, impulsion"]
T1["Domaine temporel\n∫|x(t)|²dt = E"]
F1["Domaine fréquentiel\n∫|X(f)|²df = E"]
T1 -- "Parseval" --> F1
F1 --> DSE["Densité spectrale\nd'ÉNERGIE\nJ/Hz"]
end
subgraph Puissance["Signal de puissance — vibration continue"]
T2["Domaine temporel\n⟨x²⟩ = P = g²ᵣₘₛ"]
F2["Domaine fréquentiel\n∫S(f)df = P"]
T2 -- "Wiener-Khintchine" --> F2
F2 --> DSP["Densité spectrale\nde PUISSANCE\ng²/Hz"]
end3. Pourquoi g²/Hz et non des watts ?
3.1 L'analogie électrique — origine du mot « puissance »
En électronique, la puissance dissipée est \(P = V^2/R\) — proportionnelle au carré du signal.
Par analogie, pour tout signal \(x(t)\), on appelle « puissance » la valeur quadratique moyenne \(\langle x^2 \rangle\), quelle que soit la grandeur physique :
| Grandeur | Formule | Unité | Interprétation |
|---|---|---|---|
| Énergie signal | \(E = \int x^2(t)\,dt\) | g²·s | Énergie « normalisée » (choc) |
| Puissance moyenne | \(P = \langle x^2 \rangle = \int S(f)\,df\) | g² | Variance si signal centré |
| DSP | \(S(f) = \lim_{T\to\infty} \dfrac{\|X_T(f)\|^2}{T}\) | g²/Hz | Distribution fréquentielle de \(P\) |
| Valeur efficace | \(g_\text{rms} = \sqrt{P} = \sqrt{\int S\,df}\) | g | Grandeur opérationnelle (normes ASTM) |
| Puissance réelle | \(P_\text{méca} = F \cdot v = m \cdot a \cdot v\) | W | Nécessite masse + cinématique |
| Énergie réelle | \(E_\text{méca} = \int P_\text{méca}\,dt\) | J | Nécessite masse + cinématique |
Attention au vocabulaire
Le terme « puissance » en traitement du signal est un héritage de l'analogie électrique, pas une grandeur énergétique au sens de la thermodynamique. La DSP en g²/Hz ne contient ni la masse, ni la vitesse : elle caractérise l'intensité vibratoire indépendamment du système mécanique.
3.2 Lecture d'un graphe DSP
Le graphe DSP du profil ASTM D4728-17 (transport routier longue distance) :
Lecture du graphe DSP
- L'axe vertical donne la densité : \(S(f)\) en g²/Hz
- L'axe horizontal donne la fréquence : \(f\) en Hz (souvent en échelle log)
- L'aire sous la courbe sur \([f_1, f_2]\) donne la puissance partielle :
- La racine de l'aire totale donne la valeur efficace globale :
Le profil ASTM D4728-17 présente :
- Un pic autour de 5–10 Hz (résonance de suspension du véhicule)
- Une décroissance en loi de puissance au-delà de 10 Hz
- Une coupure à 120 Hz (limite de la spécification)
4. Arbre de décision — quel outil pour quel signal ?
flowchart TD
M["Signal x(t)\nmesuré par le SAVER 3X90"]
M --> Q{"Durée du signal ?"}
Q -->|"Court\n< 100 ms"| E["SIGNAL ÉNERGÉTIQUE\nchoc mécanique"]
Q -->|"Long\nvibration continue"| P["SIGNAL DE PUISSANCE\nvibration aléatoire"]
E --> EP["Parseval direct\n∫|X(f)|²df = énergie du choc"]
EP --> SRS["→ SRS\nShock Response Spectrum"]
P --> WK["Wiener-Khintchine\nS(f) = lim |X_T(f)|²/T"]
WK --> INT["∫S(f)df = g²ᵣₘₛ"]
INT --> CMP["Comparaison au profil\nASTM D4728-17"]
CMP --> RES["√(∫S df) = 0,40 gᵣₘₛ ✓\nSpécification respectée"]5. Pourquoi la méthode de Welch ?
Un enregistrement de plusieurs heures ne peut pas être traité en une seule transformée de Fourier : la variance de l'estimateur serait trop élevée.
La méthode de Welch (1967) construit un estimateur à biais-variance contrôlé :
Algorithme de Welch
- Découper \(x(t)\) en \(N\) fenêtres de durée \(T_w\) avec recouvrement (50 % typique)
- Calculer \(|X_k(f)|^2\) pour chaque fenêtre \(k\) (après fenêtrage de Hann)
- Moyenner les \(N\) estimées :
| Paramètre | Effet sur la résolution | Effet sur la variance |
|---|---|---|
| \(T_w\) grand | Meilleure résolution fréquentielle \(\Delta f = 1/T_w\) | Moins de fenêtres → variance plus grande |
| \(N\) grand | Résolution fixe | Variance réduite en \(1/N\) |
| Recouvrement 50 % | Sans effet | Augmente \(N\) sans coût de données |
C'est l'estimateur implémenté dans le SAVER 3X90 et dans les bancs d'essai (logiciel SAVER Analyzer de Lansmont).
Références
- Parseval, M. A. (1799). Mémoire sur les séries et sur l'intégration complète d'une équation…
- Wiener, N. (1930). Generalized Harmonic Analysis. Acta Mathematica.
- Welch, P. D. (1967). The use of Fast Fourier Transform for the Estimation of Power Spectra. IEEE Trans. Audio Electroacoust.
- ASTM D4728-17. Standard Test Method for Random Vibration Testing of Shipping Containers.
- DIN EN 60068-2-27. Environmental testing — Shock.