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Résumé des Torseurs Cinétique et Dynamique

1. Torseur Cinétique

Le torseur cinétique d'un système matériel \(S\) par rapport à un repère \(\mathcal{R}_g\) est donné par :

\[\{\mathcal{C}_{S/R_g}\} = \begin{Bmatrix} m\vec{V}_{G,S/R_g} \\ \vec{\sigma}_{A,S/R_g} \end{Bmatrix}_A\]

Résultante cinétique

\[\vec{R}_c = m\vec{V}_{G,S/R_g}\]

où : - \(m\) : masse du système \(S\) - \(\vec{V}_{G,S/R_g}\) : vitesse du centre de gravité \(G\) de \(S\) par rapport à \(\mathcal{R}_g\)

Moment cinétique en A

\[\vec{\sigma}_{A,S/R_g} = I_{A,S} \cdot \vec{\Omega}_{S/R_g} + m\vec{AG} \land \vec{V}_{A,S/R_g}\]

où : - \(I_{A,S}\) : matrice d'inertie du système \(S\) par rapport au point \(A\) - \(\vec{\Omega}_{S/R_g}\) : vitesse angulaire de \(S\) par rapport à \(\mathcal{R}_g\) - \(\vec{AG}\) : vecteur position de \(G\) par rapport à \(A\) - \(\vec{V}_{A,S/R_g}\) : vitesse du point \(A\) par rapport à \(\mathcal{R}_g\)

2. Torseur Dynamique

Le torseur dynamique d'un système matériel \(S\) par rapport à un repère \(\mathcal{R}_g\) est donné par :

\[\{\mathcal{D}_{S/R_g}\} = \begin{Bmatrix} m\vec{\Gamma}_{G,S/R_g} \\ \vec{\delta}_{A,S/R_g} \end{Bmatrix}_A\]

Résultante dynamique

\[\vec{R}_d = m\vec{\Gamma}_{G,S/R_g}\]

où : - \(m\vec{\Gamma}_{G,S/R_g}\) : résultante des forces dynamiques (masse × accélération du centre de gravité)

Moment dynamique en A

\[\vec{\delta}_{A,S/R_g} = \frac{d\vec{\sigma}_{A,S/R_g}}{dt}\bigg|_{R_g} + \vec{V}_{A,S/R_g} \land m\vec{V}_{G,S/R_g}\]

où : - \(\frac{d\vec{\sigma}_{A,S/R_g}}{dt}\bigg|_{R_g}\) : dérivée temporelle du moment cinétique dans le repère \(\mathcal{R}_g\) - \(\vec{V}_{A,S/R_g} \land m\vec{V}_{G,S/R_g}\) : terme de transport

3. Principe Fondamental de la Dynamique (PFD)

Le PFD stipule que le torseur dynamique est égal au torseur des actions extérieures appliquées au système \(S\) :

\[\{\mathcal{D}_{S/R_g}\} = \{\mathcal{T}_{ext/S}\}\]

Conséquences du PFD

Cette égalité se traduit par deux équations vectorielles :

Théorème de la résultante dynamique

\[m\vec{\Gamma}_{G,S/R_g} = \sum \vec{F}_{ext}\]

L'accélération du centre de gravité est proportionnelle à la somme des forces extérieures.

Théorème du moment dynamique

\[\vec{\delta}_{A,S/R_g} = \sum \vec{\mathcal{M}}_{A,ext}\]

Le moment dynamique en un point \(A\) est égal à la somme des moments des forces extérieures en ce point.

4. Cas particuliers importants

Rotation autour d'un axe fixe

Pour un solide en rotation autour d'un axe fixe passant par \(O\) :

  • Moment cinétique : \(\vec{\sigma}_O = I_O \cdot \vec{\Omega}\)
  • Moment dynamique : \(\vec{\delta}_O = I_O \cdot \vec{\alpha}\) où \(\vec{\alpha} = \frac{d\vec{\Omega}}{dt}\)

Point fixe (A immobile dans \(\mathcal{R}_g\))

Si le point \(A\) est fixe dans \(\mathcal{R}_g\) (donc \(\vec{V}_{A,S/R_g} = \vec{0}\)) :

\[\vec{\delta}_{A,S/R_g} = \frac{d\vec{\sigma}_{A,S/R_g}}{dt}\bigg|_{R_g}\]

Le moment dynamique se réduit à la dérivée du moment cinétique.

Centre de gravité comme point de réduction

Si on choisit \(A = G\) (centre de gravité) :

\[\vec{\sigma}_{G,S/R_g} = I_{G,S} \cdot \vec{\Omega}_{S/R_g}\]

Le terme de transport disparaît car \(\vec{GG} = \vec{0}\).

5. Tableau récapitulatif

Torseur Résultante Moment en A
Cinétique \(m\vec{V}_{G,S/R_g}\) \(I_{A,S} \cdot \vec{\Omega}_{S/R_g} + m\vec{AG} \land \vec{V}_{A,S/R_g}\)
Dynamique \(m\vec{\Gamma}_{G,S/R_g}\) $\frac{d\vec{\sigma}_{A,S/R_g}}{dt}\big
Actions ext. \(\sum \vec{F}_{ext}\) \(\sum \vec{\mathcal{M}}_{A,ext}\)

6. Méthodologie d'application du PFD

Étape 1 : Définir le système et le repère

  • Identifier le système matériel \(S\)
  • Choisir un repère galiléen \(\mathcal{R}_g\)
  • Choisir un point de réduction \(A\) (souvent un point fixe ou le centre de gravité)

Étape 2 : Calculer le torseur cinétique

  • Déterminer \(\vec{V}_{G,S/R_g}\) et \(\vec{\Omega}_{S/R_g}\)
  • Calculer \(\vec{\sigma}_{A,S/R_g}\) avec la matrice d'inertie

Étape 3 : Calculer le torseur dynamique

  • Dériver le moment cinétique : \(\frac{d\vec{\sigma}_{A,S/R_g}}{dt}\)
  • Calculer \(\vec{\Gamma}_{G,S/R_g}\) (accélération du centre de gravité)

Étape 4 : Identifier les actions extérieures

  • Lister toutes les forces extérieures
  • Calculer leurs moments en \(A\)

Étape 5 : Appliquer le PFD

  • Égaliser les résultantes : \(m\vec{\Gamma}_G = \sum \vec{F}_{ext}\)
  • Égaliser les moments : \(\vec{\delta}_A = \sum \vec{\mathcal{M}}_{A,ext}\)

Étape 6 : Résoudre le système d'équations

  • Projeter sur les axes du repère
  • Résoudre les équations différentielles obtenues

7. Points clés à retenir

  1. Torseur cinétique : caractérise l'état de mouvement du système
  2. Torseur dynamique : caractérise la variation du mouvement (dérivée du torseur cinétique)
  3. PFD : égalité fondamentale entre torseur dynamique et torseur des actions extérieures
  4. Choix du point : le choix de \(A\) peut simplifier considérablement les calculs
  5. Repère galiléen : le PFD n'est valable que dans un repère galiléen
  6. Matrice d'inertie : élément central pour le calcul du moment cinétique