Moment Cinétique et Matrice d'Inertie

1. Définitions fondamentales

Moment cinétique

Le moment cinétique (ou moment angulaire) d'un solide $S$ en un point $O$ par rapport à un repère $\mathcal{R}_g$ est défini par :

\[\vec{\sigma}_{O,S/\mathcal{R}_g} = \int_{M \in S} \vec{OM} \land \vec{V}_{M \in S/\mathcal{R}_g} \, dm\]

où : - $\vec{OM}$ : vecteur position du point courant $M$ - $\vec{V}_{M \in S/\mathcal{R}_g}$ : vitesse du point $M$ appartenant au solide $S$ - $dm$ : élément de masse

Moment dynamique

Le moment dynamique en un point $O$ est défini comme la dérivée temporelle du moment cinétique :

\[\vec{\delta}_{O,S/\mathcal{R}_g} = \frac{d\vec{\sigma}_{O,S/\mathcal{R}_g}}{dt}\bigg|_{\mathcal{R}_g}\]

Théorème du moment dynamique

Le théorème fondamental de la dynamique du solide indique que le moment dynamique égale le moment des actions extérieures :

\[\vec{\delta}_{O,S/\mathcal{R}_g} = \sum \vec{\mathcal{M}}_{O,ext}\]

2. Matrice d'inertie

Définition générale

La matrice d'inertie d'un solide $S$ en un point $O$ est une matrice $3 \times 3$ symétrique qui caractérise la répartition de la masse du solide autour de ce point.

Expression de la matrice d'inertie

En repère orthonormé $(O, \vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$, la matrice d'inertie s'écrit :

\[I_{O,S} = \begin{pmatrix} I_{xx} & -I_{xy} & -I_{xz} \\ -I_{xy} & I_{yy} & -I_{yz} \\ -I_{xz} & -I_{yz} & I_{zz} \end{pmatrix}\]

Éléments de la matrice d'inertie

Moments d'inertie (termes diagonaux)

\[I_{xx} = \int_{M \in S} (y^2 + z^2) \, dm\]

\[I_{yy} = \int_{M \in S} (x^2 + z^2) \, dm\]

\[I_{zz} = \int_{M \in S} (x^2 + y^2) \, dm\]

Interprétation : $I_{ii}$ mesure la résistance à la rotation autour de l'axe $i$.

Produits d'inertie (termes hors-diagonaux)

\[I_{xy} = I_{yx} = \int_{M \in S} xy \, dm\]

\[I_{xz} = I_{zx} = \int_{M \in S} xz \, dm\]

\[I_{yz} = I_{zy} = \int_{M \in S} yz \, dm\]

Interprétation : Les produits d'inertie caractérisent le déséquilibre de la répartition de masse.

Propriétés de la matrice d'inertie

Symétrique : $I_{ij} = I_{ji}$
Définie positive : tous les moments d'inertie sont positifs
Additive : pour plusieurs corps, on additionne les matrices

3. Relation entre moment cinétique et matrice d'inertie

Pour une rotation autour d'un point fixe

Lorsqu'un solide $S$ tourne avec une vitesse angulaire $\vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g}$ autour d'un point $O$, le moment cinétique en $O$ s'exprime comme :

\[\boxed{\vec{\sigma}_{O,S/\mathcal{R}_g} = I_{O,S} \cdot \vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g}}\]

En composantes :

\[\begin{pmatrix} \sigma_x \\ \sigma_y \\ \sigma_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_{xx} & -I_{xy} & -I_{xz} \\ -I_{xy} & I_{yy} & -I_{yz} \\ -I_{xz} & -I_{yz} & I_{zz} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Omega_x \\ \Omega_y \\ \Omega_z \end{pmatrix}\]

Démonstration

En partant de la définition du moment cinétique :

\[\vec{\sigma}_{O,S/\mathcal{R}_g} = \int_{M \in S} \vec{OM} \land \vec{V}_{M \in S/\mathcal{R}_g} \, dm\]

Pour un solide tournant autour de $O$, on a $\vec{V}_M = \vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g} \land \vec{OM}$, donc :

\[\vec{\sigma}_{O,S/\mathcal{R}_g} = \int_{M \in S} \vec{OM} \land (\vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g} \land \vec{OM}) \, dm\]

En utilisant la formule du double produit vectoriel : $\vec{a} \land (\vec{b} \land \vec{c}) = \vec{b}(\vec{a} \cdot \vec{c}) - \vec{c}(\vec{a} \cdot \vec{b})$

\[\vec{\sigma}_{O,S/\mathcal{R}_g} = \int_{M \in S} [\vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g}(|\vec{OM}|^2) - \vec{OM}(\vec{OM} \cdot \vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g})] \, dm\]

En composantes sur les axes, on retrouve bien la relation $\vec{\sigma}_{O,S/\mathcal{R}_g} = I_{O,S} \cdot \vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g}$.

4. Équation du mouvement de rotation

Théorème du moment dynamique

Le théorème du moment dynamique s'écrit :

\[\vec{\delta}_{O,S/\mathcal{R}_g} = \sum \vec{\mathcal{M}}_{O,ext}\]

Pour un solide tournant autour d'un point fixe $O$ :

\[\frac{d\vec{\sigma}_{O,S/\mathcal{R}_g}}{dt}\bigg|_{\mathcal{R}_g} = \sum \vec{\mathcal{M}}_{O,ext}\]

Soit :

\[\boxed{I_{O,S} \cdot \vec{\alpha}_{S/\mathcal{R}_g} = \sum \vec{\mathcal{M}}_{O,ext}}\]

où $\vec{\alpha}_{S/\mathcal{R}_g} = \frac{d\vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g}}{dt}$ est l'accélération angulaire.

Cas d'une rotation autour d'un axe principal

Si $\vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g} = \Omega \vec{e}_z$ (rotation autour d'un axe principal d'inertie), la relation se simplifie :

\[\boxed{I_{zz} \cdot \alpha = \mathcal{M}_z}\]

5. Axes principaux d'inertie

Définition

Les axes principaux d'inertie sont les axes pour lesquels la matrice d'inertie est diagonale, c'est-à-dire où tous les produits d'inertie s'annulent.

Matrice diagonale

Dans le repère principal (noté avec des astérisques), la matrice d'inertie devient :

\[I_{O,S}^* = \begin{pmatrix} I_1 & 0 & 0 \\ 0 & I_2 & 0 \\ 0 & 0 & I_3 \end{pmatrix}\]

où $I_1 \leq I_2 \leq I_3$ sont les moments principaux d'inertie.

Avantages

Formules simplifiées
Les moments cinétique et dynamique sont alignés avec la rotation
Pas d'effet d'équilibrage dynamique

6. Théorème de Huygens (Théorème des axes parallèles)

Énoncé

La matrice d'inertie d'un solide $S$ en un point $O$ est liée à la matrice d'inertie au centre de masse $G$ par :

\[I_{O,S} = I_{G,S} + M \cdot [\vec{OG}]_{\land}^2\]

où : - $M$ : masse totale du solide - $[\vec{OG}]_{\land}$ : matrice antisymétrique associée au vecteur $\vec{OG}$

Formulation en composantes

En notant $\vec{OG} = (a, b, c)$ :

\[I_{O,xx} = I_{G,xx} + M(b^2 + c^2)\]

\[I_{O,yy} = I_{G,yy} + M(a^2 + c^2)\]

\[I_{O,zz} = I_{G,zz} + M(a^2 + b^2)\]

\[I_{O,xy} = I_{G,xy} - Mab\]

\[I_{O,xz} = I_{G,xz} - Mac\]

\[I_{O,yz} = I_{G,yz} - Mbc\]

Application pratique

Le théorème de Huygens permet de calculer la matrice d'inertie en n'importe quel point si on connaît celle au centre de masse.

Remarque : Ce théorème est aussi appelé théorème de Steiner dans certains ouvrages.

7. Matrices d'inertie de solides classiques

Barre homogène

Pour une barre homogène de masse $M$ et longueur $L$ selon l'axe $x$, centré en $G$ :

\[I_{G,S} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{ML^2}{12} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{ML^2}{12} \end{pmatrix}\]

Cylindre homogène

Pour un cylindre homogène de masse $M$, rayon $R$ et hauteur $h$, axe selon $z$, centré en $G$ :

\[I_{G,S} = \begin{pmatrix} \frac{M(3R^2 + h^2)}{12} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{M(3R^2 + h^2)}{12} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{MR^2}{2} \end{pmatrix}\]

Sphère homogène

Pour une sphère homogène de masse $M$ et rayon $R$, centré en $G$ :

\[I_{G,S} = \begin{pmatrix} \frac{2MR^2}{5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2MR^2}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2MR^2}{5} \end{pmatrix}\]

8. Tableau récapitulatif des formules

Moments d'inertie

Grandeur	Formule
Moment cinétique	$\vec{\sigma}_{O,S/\mathcal{R}_g} = I_{O,S} \cdot \vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g}$
Moment dynamique	$\vec{\delta}{O,S/\mathcal{R}_g} = \frac{d\vec{\sigma}\big}_g}}{dt
Équation de rotation	$I_{O,S} \cdot \vec{\alpha}_{S/\mathcal{R}_g} = \sum \vec{\mathcal{M}}_{O,ext}$

Matrice d'inertie

Élément	Définition
$I_{xx}$	$\int_{M \in S} (y^2 + z^2) \, dm$
$I_{yy}$	$\int_{M \in S} (x^2 + z^2) \, dm$
$I_{zz}$	$\int_{M \in S} (x^2 + y^2) \, dm$
$I_{xy}$	$\int_{M \in S} xy \, dm$
$I_{xz}$	$\int_{M \in S} xz \, dm$
$I_{yz}$	$\int_{M \in S} yz \, dm$

Théorème de Huygens

Relation	Formule
Moment principal	$I_{O,ii} = I_{G,ii} + M \cdot d_{\perp,i}^2$
Produit d'inertie	$I_{O,ij} = I_{G,ij} - M \cdot d_i \cdot d_j$

9. Cas particuliers importants

Rotation autour d'un axe principal

Si la rotation se fait autour d'un axe principal d'inertie d'indice $i$ :

\[\mathcal{M}_i = I_i \cdot \alpha\]

Avantage : les autres composantes du moment sont nulles.

Solide avec symétries

Symétrie de révolution autour de l'axe $z$

La matrice prend la forme :

\[I_{O,S} = \begin{pmatrix} I_r & 0 & 0 \\ 0 & I_r & 0 \\ 0 & 0 & I_z \end{pmatrix}\]

avec $I_r = I_x = I_y$.

Symétrie par rapport à un plan

Les produits d'inertie perpendiculaires au plan d'inertie s'annulent.

10. Énergie cinétique de rotation

Expression générale

L'énergie cinétique d'un solide $S$ en rotation s'exprime par :

\[E_c = \frac{1}{2} \vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g} \cdot I_{O,S} \cdot \vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g}\]

En composantes :

\[E_c = \frac{1}{2} (I_{xx}\Omega_x^2 + I_{yy}\Omega_y^2 + I_{zz}\Omega_z^2 - 2I_{xy}\Omega_x\Omega_y - 2I_{xz}\Omega_x\Omega_z - 2I_{yz}\Omega_y\Omega_z)\]

Cas d'une rotation autour d'un axe principal

Si rotation autour d'un axe principal $i$ :

\[\boxed{E_c = \frac{1}{2} I_i \Omega^2}\]

11. Points clés à retenir

Matrice d'inertie : caractérise la distribution de masse du solide
Relation fondamentale : $\vec{\sigma}_{O,S/\mathcal{R}_g} = I_{O,S} \cdot \vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g}$
Axes principaux : diagonalisent la matrice d'inertie
Théorème de Huygens : outil essentiel pour les changements de point
Équation de rotation : $I_{O,S} \cdot \vec{\alpha}_{S/\mathcal{R}_g} = \sum \vec{\mathcal{M}}_{O,ext}$
Symétries : simplifient considérablement la matrice d'inertie
Énergie : expression quadratique en fonction de $\vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g}$
Notations : $\vec{\sigma}$ pour moment cinétique, $\vec{\delta}$ pour moment dynamique, $I_{O,S}$ pour matrice d'inertie

Élément	Définition
\(I_{xx}\)	\(\int_{M \in S} (y^2 + z^2) \, dm\)
\(I_{yy}\)	\(\int_{M \in S} (x^2 + z^2) \, dm\)
\(I_{zz}\)	\(\int_{M \in S} (x^2 + y^2) \, dm\)
\(I_{xy}\)	\(\int_{M \in S} xy \, dm\)
\(I_{xz}\)	\(\int_{M \in S} xz \, dm\)
\(I_{yz}\)	\(\int_{M \in S} yz \, dm\)

Grandeur	Formule
Moment cinétique	\(\vec{\sigma}_{O,S/\mathcal{R}_g} = I_{O,S} \cdot \vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g}\)
Moment dynamique	$\vec{\delta}{O,S/\mathcal{R}_g} = \frac{d\vec{\sigma}\big}_g}}{dt
Équation de rotation	\(I_{O,S} \cdot \vec{\alpha}_{S/\mathcal{R}_g} = \sum \vec{\mathcal{M}}_{O,ext}\)

Relation	Formule
Moment principal	\(I_{O,ii} = I_{G,ii} + M \cdot d_{\perp,i}^2\)
Produit d'inertie	\(I_{O,ij} = I_{G,ij} - M \cdot d_i \cdot d_j\)

Moment Cinétique et Matrice d'Inertie

1. Définitions fondamentales