Cinématique du Solide

1. Définitions fondamentales

Solide indéformable

Un solide \(S\) est indéformable si la distance entre deux points quelconques \(A\) et \(B\) du solide reste constante au cours du temps :

\[\forall (A,B) \in S^2, \quad \frac{d}{dt}|\vec{AB}| = 0\]

Repères de référence

Repère fixe (ou repère galiléen) : \(\mathcal{R}_g = (O, \vec{x}_0, \vec{y}_0, \vec{z}_0)\) - repère d'observation
Repère lié au solide : \(\mathcal{R}_s = (O_s, \vec{x}_s, \vec{y}_s, \vec{z}_s)\) - repère solidaire du solide

2. Vecteur rotation instantanée

Définition

Le vecteur rotation instantanée (ou vitesse angulaire) du solide \(S\) par rapport au repère \(\mathcal{R}_g\) est noté :

\[\vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g}\]

Il caractérise la rotation du solide à l'instant considéré.

Propriétés

Indépendant du point : même vecteur pour tous les points du solide
Direction : axe instantané de rotation
Norme : vitesse angulaire \(\omega = |\vec{\Omega}|\) (rad/s)

3. Champ de vitesse d'un solide

Définition générale

Le champ de vitesse d'un solide est la distribution de vecteurs vitesse de tous les points du solide à un instant donné.

Formule d'Euler (formule fondamentale)

La vitesse d'un point \(M\) du solide s'exprime à partir de la vitesse d'un point \(A\) et du vecteur rotation instantanée :

\[\boxed{\vec{V}_{M \in S/\mathcal{R}_g} = \vec{V}_{A \in S/\mathcal{R}_g} + \vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g} \land \vec{AM}}\]

où :

\(\vec{V}_M\) : vitesse du point \(M\) appartenant au solide \(S\) par rapport à \(\mathcal{R}_g\)
\(\vec{V}_A\) : vitesse du point \(A\) appartenant au solide \(S\) (pôle choisi)
\(\vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g}\) : vecteur rotation instantanée du solide \(S\)
\(\vec{AM}\) : vecteur de \(A\) vers \(M\)
\(\land\) : produit vectoriel

Interprétation physique

Le champ de vitesse se décompose en :

Vitesse de translation : \(\vec{V}_A\) (identique pour tous les points)
Vitesse de rotation : \(\vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g} \land \vec{AM}\) (due à la rotation autour de \(A\))

4. Démonstration de la formule d'Euler

Condition de rigidité

Pour un solide indéformable, on doit avoir : \(\(\frac{d}{dt}|\vec{AM}|^2 = 0\)\)

En développant : \(\(\frac{d}{dt}(\vec{AM} \cdot \vec{AM}) = 2\vec{AM} \cdot \frac{d\vec{AM}}{dt} = 0\)\)

Donc : \(\(\vec{AM} \cdot (\vec{V}_M - \vec{V}_A) = 0\)\)

Déduction de la formule d'Euler

Cette condition implique que \((\vec{V}_M - \vec{V}_A)\) est perpendiculaire à \(\vec{AM}\), ce qui correspond à un produit vectoriel :

\[\vec{V}_M - \vec{V}_A = \vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g} \land \vec{AM}\]

D'où : \(\(\boxed{\vec{V}_M = \vec{V}_A + \vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g} \land \vec{AM}}\)\)

5. Champ d'accélération d'un solide

Formule générale

L'accélération d'un point \(M\) du solide s'exprime comme :

\[\boxed{\vec{\Gamma}_M = \vec{\Gamma}_A + \vec{\alpha}_{S/\mathcal{R}_g} \land \vec{AM} + \vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g} \land (\vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g} \land \vec{AM})}\]

où \(\vec{\alpha}_{S/\mathcal{R}_g} = \frac{d\vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g}}{dt}\) est l'accélération angulaire.

Décomposition en deux termes

Accélération tangentielle (ou de rotation)

\[\vec{\Gamma}_t = \vec{\alpha}_{S/\mathcal{R}_g} \land \vec{AM}\]

Propriétés :

Direction : perpendiculaire à \(\vec{AM}\)
Norme : \(\Gamma_t = \alpha \cdot r\) où \(r = |\vec{AM}|\)
Cause : variation du module de la vitesse angulaire

Accélération centripète (ou normale)

\[\vec{\Gamma}_c = \vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g} \land (\vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g} \land \vec{AM})\]

En utilisant la formule du double produit vectoriel : \(\(\vec{\Gamma}_c = -\Omega^2 \vec{r}\)\)

où \(\vec{r}\) est le vecteur position perpendiculaire à l'axe de rotation.

Propriétés :

Direction : dirigée vers l'axe de rotation
Norme : \(\Gamma_c = \Omega^2 \cdot r\)
Cause : variation de la direction du vecteur vitesse

Démonstration détaillée

Pour un solide tournant autour d'un axe fixe, en différenciant la formule d'Euler :

\[\vec{\Gamma}_M = \frac{d\vec{V}_M}{dt} = \frac{d\vec{V}_A}{dt} + \frac{d}{dt}(\vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g} \land \vec{AM})\]

\[\vec{\Gamma}_M = \vec{\Gamma}_A + \frac{d\vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g}}{dt} \land \vec{AM} + \vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g} \land \frac{d\vec{AM}}{dt}\]

En remplaçant \(\frac{d\vec{AM}}{dt} = \vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g} \land \vec{AM}\) :

\[\vec{\Gamma}_M = \vec{\Gamma}_A + \vec{\alpha}_{S/\mathcal{R}_g} \land \vec{AM} + \vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g} \land (\vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g} \land \vec{AM})\]

Avec \(\vec{\Gamma}_A = \vec{0}\) pour un axe fixe, on obtient :

\[\boxed{\vec{\Gamma}_M = \vec{\alpha}_{S/\mathcal{R}_g} \land \vec{AM} + \vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g} \land (\vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g} \land \vec{AM})}\]

6. Formule du changement de repère (Formule de Bour)

Énoncé

La formule de Bour relie les dérivées d'un vecteur dans deux repères de référence différents :

\[\boxed{\left(\frac{d\vec{u}}{dt}\right)_{\mathcal{R}_g} = \left(\frac{d\vec{u}}{dt}\right)_{\mathcal{R}_s} + \vec{\Omega}_{s/g} \land \vec{u}}\]

où : - \(\left(\frac{d\vec{u}}{dt}\right)_{\mathcal{R}_g}\) : dérivée dans le repère fixe - \(\left(\frac{d\vec{u}}{dt}\right)_{\mathcal{R}_s}\) : dérivée dans le repère mobile - \(\vec{\Omega}_{s/g}\) : vecteur rotation du repère mobile par rapport au repère fixe

Application à la vitesse

En appliquant la formule de Bour au vecteur position \(\vec{AM}\) :

\[\vec{V}_M = \left(\frac{d\vec{AM}}{dt}\right)_{\mathcal{R}_g} = \left(\frac{d\vec{AM}}{dt}\right)_{\mathcal{R}_s} + \vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g} \land \vec{AM}\]

Or, \(\left(\frac{d\vec{AM}}{dt}\right)_{\mathcal{R}_s} = \vec{0}\) car \(\vec{AM}\) est constant dans le repère lié au solide.

D'où : \(\(\vec{V}_M = \vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g} \land \vec{AM}\)\)

7. Formules récapitulatives

Vitesse

Élément	Formule
Champ de vitesse	\(\vec{V}_M = \vec{V}_A + \vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g} \land \vec{AM}\)
Vitesse en rotation pure	\(\vec{V}_M = \vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g} \land \vec{OM}\) (avec \(O\) sur l'axe)
Norme (rotation pure)	\(V = \Omega \cdot r\)

Accélération

Élément	Formule
Champ d'accélération	\(\vec{\Gamma}_M = \vec{\Gamma}_A + \vec{\alpha}_{S/\mathcal{R}_g} \land \vec{AM} + \vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g} \land (\vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g} \land \vec{AM})\)
Accélération tangentielle	\(\vec{\Gamma}_t = \vec{\alpha}_{S/\mathcal{R}_g} \land \vec{AM}\) ou \(\Gamma_t = \alpha \cdot r\)
Accélération centripète	\(\vec{\Gamma}_c = -\Omega^2 \vec{r}\) ou \(\Gamma_c = \Omega^2 \cdot r\)
Accélération totale (rotation pure)	\(\vec{\Gamma}_M = \vec{\alpha}_{S/\mathcal{R}_g} \land \vec{OM} + \vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g} \land (\vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g} \land \vec{OM})\)

Vitesses et accélérations angulaires

Grandeur	Définition
Vitesse angulaire	\(\vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g} = \frac{d\vec{\theta}}{dt}\)
Accélération angulaire	\(\vec{\alpha}_{S/\mathcal{R}_g} = \frac{d\vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g}}{dt} = \frac{d^2\vec{\theta}}{dt^2}\)

8. Cas particuliers importants

Rotation autour d'un axe fixe

Pôle choisi : \(O\) sur l'axe de rotation

\[\vec{V}_M = \vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g} \land \vec{OM}\]

\[\vec{\Gamma}_M = \vec{\alpha}_{S/\mathcal{R}_g} \land \vec{OM} + \vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g} \land (\vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g} \land \vec{OM})\]

En coordonnées cylindriques \((r, \theta, z)\) : - \(V_r = 0\) - \(V_\theta = \Omega r\) - \(\Gamma_r = -\Omega^2 r\) (centripète) - \(\Gamma_\theta = \alpha r\) (tangentielle)

Mouvement de translation pure

\(\vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g} = \vec{0}\) pour tout point du solide

\[\vec{V}_M = \vec{V}_A = \text{constante}\]

\[\vec{\Gamma}_M = \vec{\Gamma}_A\]

Mouvement hélicoïdal

Le solide combine rotation autour d'un axe et translation le long de cet axe.

\[\vec{V}_M = \vec{V}_{||} + \vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_g} \land \vec{r}_{\perp}\]

où \(\vec{V}_{||}\) est la vitesse selon l'axe et \(\vec{r}_{\perp}\) la position perpendiculaire à l'axe.

9. Résumé graphique

Décomposition du champ de vitesse

Point A : pôle de réduction
         ↓
Vitesse en M = Vitesse de translation + Vitesse de rotation
         ↓                 ↓                     ↓
      V⃗_M           =    V⃗_A          +    Ω⃗ ∧ AM⃗

Décomposition du champ d'accélération (rotation autour d'axe fixe)

Accélération en M = Accélération tangentielle + Accélération centripète
         ↓                    ↓                        ↓
      Γ⃗_M            =    α⃗ ∧ OM⃗         +    Ω⃗ ∧ (Ω⃗ ∧ OM⃗)

              Perpendiculaire à OM⃗    Dirigée vers l'axe
              (change la vitesse)     (change la direction)

10. Points clés à retenir

Formule d'Euler : base du champ de vitesse en cinématique du solide
Décomposition de l'accélération : toujours deux composantes (tangentielle + centripète)
Formule de Bour : outil fondamental pour les changements de repère
Produit vectoriel : manipulation essentielle des vecteurs \(\vec{\Omega}\) et \(\vec{\alpha}\)
Indépendance du choix du pôle : le vecteur rotation \(\vec{\Omega}\) est indépendant du point
Notations : \(\vec{V}\) pour vitesse, \(\vec{\Gamma}\) pour accélération, \(\vec{\Omega}\) pour rotation, \(\land\) pour produit vectoriel