Conception de filtres analogiques

Introduction

La conception de filtres analogiques consiste à déterminer la fonction de transfert et les composants nécessaires pour obtenir une réponse fréquentielle donnée. Les filtres de Butterworth sont particulièrement utilisés pour leur réponse plate en bande passante.

Spécifications d'un filtre

Paramètres de conception

Fréquences caractéristiques :

\(f_p\) : fréquence de coupure en bande passante
\(f_s\) : fréquence de coupure en bande atténuée
\(f_0\) : fréquence centrale (pour passe-bande)

Atténuations :

\(A_p\) : atténuation maximale en bande passante (dB)
\(A_s\) : atténuation minimale en bande atténuée (dB)

Ondulation :

\(\varepsilon\) : facteur d'ondulation en bande passante

Gabarit fréquentiel

Le gabarit définit les zones autorisées et interdites :

Zone passante : \(|H(j\omega)| \geq -A_p\) dB
Zone de transition : pas de contrainte
Zone atténuée : \(|H(j\omega)| \leq -A_s\) dB

Approximations classiques

Butterworth (maximalement plate)

Caractéristiques :

Réponse la plus plate possible en bande passante
Pas d'ondulation
Décroissance monotone

Fonction de transfert normalisée : \(\(|H(j\Omega)|^2 = \frac{1}{1 + \Omega^{2n}}\)\)

Avec \(\Omega = \frac{\omega}{\omega_c}\) est la pulsation normalisée.

Tchebychev (ondulation équi-répartie)

Type I : Ondulation en bande passante Type II : Ondulation en bande atténuée

Fonction de transfert : \(\(|H(j\Omega)|^2 = \frac{1}{1 + \varepsilon^2 T_n^2(\Omega)}\)\)

Avec \(T_n(\Omega)\) est le polynôme de Tchebychev d'ordre \(n\).

Elliptique (Cauer)

Caractéristiques :

Ondulation en bande passante ET en bande atténuée
Transition la plus raide pour un ordre donné
Complexité de réalisation élevée

Filtre de Butterworth

Propriétés mathématiques

Polynôme de Butterworth : \(\(B_n(s) = \prod_{k=1}^{n} (s - s_k)\)\)

Pôles : \(\(s_k = e^{j\frac{(2k-1)\pi}{2n}}\)\)

Pour \(k = 1, 2, ..., n\)

Les pôles sont répartis uniformément sur le cercle unité dans le plan complexe.

Détermination de l'ordre

Formule : \(\(n \geq \frac{\log\left(\frac{10^{A_s/10} - 1}{10^{A_p/10} - 1}\right)}{2\log\left(\frac{\omega_s}{\omega_p}\right)}\)\)

Méthode graphique :

Tracer le gabarit
Déterminer le facteur de sélectivité \(k = \frac{\omega_s}{\omega_p}\)
Lire l'ordre sur l'abaque de Butterworth

Fonction de transfert

Passe-bas d'ordre n : \(\(H(s) = \frac{K}{\prod_{k=1}^{n} (s - s_k)}\)\)

Factorisation en termes du second ordre : \(\(H(s) = \frac{K}{\prod_{i} (s^2 + 2\zeta_i\omega_0 s + \omega_0^2)}\)\)

Avec \(\zeta_i = \cos\left(\frac{(2i-1)\pi}{2n}\right)\) pour l'ordre pair.

Réponse fréquentielle

Module : \(\(|H(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{\omega}{\omega_c}\right)^{2n}}}\)\)

Phase : \(\(\arg(H(j\omega)) = -n \arctan\left(\frac{\omega}{\omega_c}\right)\)\)

Propriétés :

À \(\omega = \omega_c\) : \(|H(j\omega_c)| = \frac{1}{\sqrt{2}} = -3\) dB
Pente asymptotique : \(-20n\) dB/décade
Retard de groupe : \(\tau_g = n \frac{\omega_c}{\omega^2 + \omega_c^2}\)

Transformations fréquentielles

Passe-bas vers passe-haut

Transformation : \(\(s \rightarrow \frac{\omega_c^2}{s}\)\)

Fonction de transfert : \(\(H_{PH}(s) = H_{PB}\left(\frac{\omega_c^2}{s}\right)\)\)

Passe-bas vers passe-bande

Transformation : \(\(s \rightarrow \frac{s^2 + \omega_0^2}{Bs}\)\)

Avec :

\(\omega_0 = \sqrt{\omega_1 \omega_2}\) : fréquence centrale
\(B = \omega_2 - \omega_1\) : bande passante

Passe-bas vers coupe-bande

Transformation : \(\(s \rightarrow \frac{Bs}{s^2 + \omega_0^2}\)\)

Synthèse de filtres actifs

Structure Sallen-Key

Passe-bas du 2ème ordre :

Ve --R1-- +--R2--+-- AOP +
          |       |       |
          C1      C2      |
          |       |       |
         GND     GND     Vs

Fonction de transfert : \(\(H(s) = \frac{K}{1 + s(R_1C_1 + R_2C_1 + R_1C_2(1-K)) + s^2R_1R_2C_1C_2}\)\)

Paramètres de conception :

\(\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{R_1R_2C_1C_2}}\)
\(Q = \frac{1}{\sqrt{\frac{C_1}{C_2}}\left(\sqrt{\frac{R_1}{R_2}} + \sqrt{\frac{R_2}{R_1}}\right)}\)

Structure à sources contrôlées multiples (MFB)

Avantages : * Un seul amplificateur opérationnel * Gain et fréquence de coupure indépendants * Bonne stabilité

Inconvénients : * Gain limité * Sensibilité aux composants

Cascade de cellules du 2ème ordre

Principe :

Décomposer \(H(s)\) en produit de fonctions du 2ème ordre
Réaliser chaque cellule indépendamment
Mettre en cascade avec des suiveurs

Avantage : Conception modulaire et flexible

Méthode de conception

Étapes de synthèse

Analyse du cahier des charges
Définir le gabarit fréquentiel
Choisir le type d'approximation
Détermination de l'ordre
Calculer l'ordre minimal
Vérifier les contraintes
Calcul de la fonction de transfert
Déterminer les pôles
Factoriser en termes du 2ème ordre
Choix de la topologie
Structure active (Sallen-Key, MFB, etc.)
Calcul des composants
Simulation et optimisation
Vérifier les performances
Ajuster si nécessaire

Exemple : Passe-bas Butterworth

Cahier des charges : * \(f_p = 1\) kHz, \(A_p = 1\) dB * \(f_s = 10\) kHz, \(A_s = 40\) dB

Calcul de l'ordre : \(\(n \geq \frac{\log\left(\frac{10^{4} - 1}{10^{0.1} - 1}\right)}{2\log(10)} = \frac{\log(9999/0.259)}{2} = 2.29\)\)

Donc \(n = 3\) (ordre minimal).

Fonction de transfert : \(\(H(s) = \frac{1}{(s+1)(s^2+s+1)}\)\)

Après dénormalisation avec \(\omega_c = 2\pi \times 1000\) : \(\(H(s) = \frac{(2\pi \times 10^3)^3}{(s+2\pi \times 10^3)(s^2+2\pi \times 10^3 s+(2\pi \times 10^3)^2)}\)\)

Sensibilités et tolérances

Sensibilité d'un paramètre

Définition : \(\(S_x^y = \frac{x}{y} \frac{\partial y}{\partial x}\)\)

Sensibilité relative : \(\(S_x^y = \frac{\Delta y/y}{\Delta x/x}\)\)

Analyse de sensibilité

Fréquence de coupure : \(\(S_{R_1}^{\omega_0} = S_{R_2}^{\omega_0} = S_{C_1}^{\omega_0} = S_{C_2}^{\omega_0} = -\frac{1}{2}\)\)

Facteur de qualité : Plus sensible aux variations des composants.

Choix des composants

Résistances : * Tolérance : 1% à 5% * Coefficient de température faible * Bruit faible pour les applications audio

Condensateurs : * Tolérance : 5% à 20% * Stabilité thermique (C0G, NP0) * Faible absorption diélectrique

Applications pratiques

Filtres audio

Anti-repliement : Avant échantillonnage CAN Reconstruction : Après CNA Égalisation : Correction de réponse

Filtres de mesure

Passe-bas : Élimination du bruit HF Passe-bande : Sélection de fréquence Coupe-bande : Élimination du 50/60 Hz

Filtres de communication

Sélection de canal Élimination d'interférences Mise en forme spectrale

Limitations pratiques

Amplificateurs opérationnels

Produit gain-bande passante limite la fréquence maximale
Slew rate limite l'amplitude des signaux HF
Bruit dégrade le rapport signal/bruit

Composants passifs

Tolérances dégradent la précision
Dérives thermiques affectent la stabilité
Parasites (capacités, inductances) limitent les performances HF

Solutions

Ajustage par composants variables
Compensation thermique
Blindage et routage soigné
Composants de précision