Statique du Solide

1. Principe fondamental de la statique (PFS)

Énoncé

Un solide $S$ est en équilibre statique dans un repère galiléen $\mathcal{R}_g$ si et seulement si le torseur des actions mécaniques extérieures est nul :

\[\{\mathcal{T}_{ext/S}\} = \{0\}\]

Conditions d'équilibre

Cette condition se traduit par deux équations vectorielles :

\[\sum \vec{F}_{ext} = \vec{0}\]

\[\sum \vec{\mathcal{M}}_{A,ext} = \vec{0}\]

où $A$ est un point quelconque.

Projection sur les axes

En 2D (plan $xy$), on obtient 3 équations scalaires :

\[\sum F_x = 0 \quad ; \quad \sum F_y = 0 \quad ; \quad \sum \mathcal{M}_z = 0\]

En 3D, on obtient 6 équations scalaires :

\[\sum F_x = 0 \quad ; \quad \sum F_y = 0 \quad ; \quad \sum F_z = 0\]

\[\sum \mathcal{M}_x = 0 \quad ; \quad \sum \mathcal{M}_y = 0 \quad ; \quad \sum \mathcal{M}_z = 0\]

2. Liaisons mécaniques

Classification des liaisons

Une liaison mécanique entre deux solides impose des contraintes cinématiques et génère des actions mécaniques de liaison.

Degrés de liberté et inconnues de liaison

Pour chaque liaison, on définit : - Degrés de liberté (ddl) : nombre de mouvements indépendants autorisés - Inconnues de liaison : nombre de composantes d'efforts transmissibles

Relation : $\text{ddl} + \text{inconnues} = 6$ (en 3D)

Liaisons usuelles en 2D

Liaison	Schéma	ddl	Inconnues	Efforts transmis
Appui simple	Point-plan	2	1	$N$ (normale)
Pivot glissant	Glissière	2	1	$N$ (perpendiculaire)
Pivot	Articulation	1	2	$X$, $Y$
Encastrement	Fixe	0	3	$X$, $Y$, $M_z$

Liaisons usuelles en 3D

Liaison	ddl	Inconnues	Efforts transmis
Ponctuelle	5	1	$N$
Linéaire rectiligne	4	2	$N_1$, $N_2$
Appui plan	3	3	$N$, $M_x$, $M_y$
Pivot	1	5	$X$, $Y$, $Z$, $M_x$, $M_y$
Glissière	1	5	$X$, $Y$, $M_x$, $M_y$, $M_z$
Encastrement	0	6	$X$, $Y$, $Z$, $M_x$, $M_y$, $M_z$

3. Torseur des actions mécaniques

Définition

Le torseur des actions mécaniques exercées par un solide 1 sur un solide 2 s'écrit :

\[\{\mathcal{T}_{1/2}\} = \begin{Bmatrix} \vec{R}_{1/2} \\ \vec{\mathcal{M}}_{A,1/2} \end{Bmatrix}_A\]

où : - $\vec{R}_{1/2}$ : résultante des actions mécaniques - $\vec{\mathcal{M}}_{A,1/2}$ : moment résultant au point $A$

Changement de point de réduction

Le moment en un point $B$ se déduit du moment en $A$ par :

\[\vec{\mathcal{M}}_{B,1/2} = \vec{\mathcal{M}}_{A,1/2} + \vec{BA} \land \vec{R}_{1/2}\]

Torseur couple

Un torseur couple a une résultante nulle : $\vec{R} = \vec{0}$

Le moment est alors indépendant du point de réduction.

4. Méthodologie de résolution

Étape 1 : Isoler le système

Définir clairement le système étudié
Tracer le diagramme d'isolement (frontière du système)

Étape 2 : Bilan des actions mécaniques extérieures

Actions à distance : pesanteur, magnétiques...
Actions de contact : liaisons, appuis, charges appliquées

Étape 3 : Modéliser les actions de liaison

Identifier le type de liaison
Représenter les inconnues de liaison correspondantes

Étape 4 : Choisir un point de réduction

Privilégier un point où plusieurs forces concourent
Ou un point appartenant à une liaison (simplifie le moment)

Étape 5 : Écrire les équations d'équilibre

Appliquer le PFS : $\sum \vec{F} = \vec{0}$ et $\sum \vec{\mathcal{M}}_A = \vec{0}$
Projeter sur les axes du repère

Étape 6 : Résoudre le système

Résoudre les équations algébriques
Vérifier la cohérence des résultats (signe, ordre de grandeur)

5. Cas particuliers importants

Solide soumis à deux forces

Si un solide est en équilibre sous l'action de deux forces $\vec{F}_1$ et $\vec{F}_2$ :

Les deux forces sont colinéaires : $\vec{F}_2 = -\vec{F}_1$
Elles ont même support (droite d'action commune)

Solide soumis à trois forces

Si un solide est en équilibre sous l'action de trois forces non parallèles :

Les trois forces sont coplanaires
Leurs supports sont concourants en un même point

Théorème des trois forces : permet souvent de déterminer graphiquement les directions des forces.

Système isostatique

Un système est isostatique si le nombre d'équations d'équilibre égale le nombre d'inconnues de liaison.

Résolution unique possible
Système déterminé

Système hyperstatique

Un système est hyperstatique si le nombre d'inconnues de liaison est supérieur au nombre d'équations d'équilibre.

Degré d'hyperstaticité : $h = n_{inconnues} - n_{équations}$
Nécessite des équations complémentaires (déformations, compatibilité)

Système hypostatique

Un système est hypostatique si le nombre d'inconnues de liaison est inférieur au nombre d'équations d'équilibre.

Système instable ou mobile
Pas d'équilibre possible (sauf cas particulier de chargement)

6. Méthodes de résolution graphique

Dynamique graphique (polygone des forces)

Pour un solide en équilibre sous plusieurs forces :

Tracer les vecteurs forces bout à bout
Le polygone doit se fermer (somme nulle)
Permet de déterminer graphiquement les inconnues

Polygone funiculaire

Permet de déterminer la ligne d'action de la résultante de plusieurs forces parallèles.

Diagramme de Cremona

Méthode graphique pour résoudre les treillis isostatiques :

Applicable aux structures articulées
Détermine les efforts dans chaque barre

7. Frottement et adhérence

Lois de Coulomb

Pour un contact avec frottement entre deux solides :

Condition de non-glissement

\[|\vec{T}| \leq f \cdot |\vec{N}|\]

où : - $\vec{T}$ : composante tangentielle de l'effort - $\vec{N}$ : composante normale de l'effort - $f$ : coefficient de frottement statique

Glissement

Lorsqu'il y a glissement :

\[|\vec{T}| = f_d \cdot |\vec{N}|\]

avec $f_d$ : coefficient de frottement dynamique ($f_d < f$)

Cône de frottement

L'effort de contact doit rester à l'intérieur du cône de frottement d'angle $\varphi$ tel que :

\[\tan(\varphi) = f\]

8. Applications industrielles

Structures

Poutres : calcul des réactions d'appui, diagrammes des efforts
Treillis : méthode des nœuds, méthode de Ritter
Portiques : structures hyperstatiques

Mécanismes

Leviers : amplification d'effort
Systèmes de freinage : calcul des efforts de serrage
Préhenseurs : robotique, calcul de prise

Dimensionnement

Vérification de la résistance des matériaux
Calcul des contraintes (traction, compression, cisaillement)
Critères de rupture

9. Tableau récapitulatif

Concept	Formule/Condition
Équilibre	$\sum \vec{F} = \vec{0}$ et $\sum \vec{\mathcal{M}}_A = \vec{0}$
Changement de point	$\vec{\mathcal{M}}_B = \vec{\mathcal{M}}_A + \vec{BA} \land \vec{R}$
Deux forces	Colinéaires et opposées
Trois forces	Coplanaires et concourantes
Frottement	$
Isostatisme	$n_{inconnues} = n_{équations}$
Hyperstatisme	$h = n_{inconnues} - n_{équations}$

10. Points clés à retenir

PFS : torseur des actions extérieures nul pour l'équilibre
Isolement : étape cruciale pour identifier toutes les actions
Liaisons : connaître les efforts transmissibles par chaque type
Point de réduction : choix stratégique pour simplifier les calculs
Isostatisme : condition pour une résolution unique
Frottement : limite la capacité de transmission d'effort tangentiel
Méthodes graphiques : utiles pour validation et compréhension physique

Liaison	Schéma	ddl	Inconnues	Efforts transmis
Appui simple	Point-plan	2	1	\(N\) (normale)
Pivot glissant	Glissière	2	1	\(N\) (perpendiculaire)
Pivot	Articulation	1	2	\(X\), \(Y\)
Encastrement	Fixe	0	3	\(X\), \(Y\), \(M_z\)

Liaison	ddl	Inconnues	Efforts transmis
Ponctuelle	5	1	\(N\)
Linéaire rectiligne	4	2	\(N_1\), \(N_2\)
Appui plan	3	3	\(N\), \(M_x\), \(M_y\)
Pivot	1	5	\(X\), \(Y\), \(Z\), \(M_x\), \(M_y\)
Glissière	1	5	\(X\), \(Y\), \(M_x\), \(M_y\), \(M_z\)
Encastrement	0	6	\(X\), \(Y\), \(Z\), \(M_x\), \(M_y\), \(M_z\)

Concept	Formule/Condition
Équilibre	\(\sum \vec{F} = \vec{0}\) et \(\sum \vec{\mathcal{M}}_A = \vec{0}\)
Changement de point	\(\vec{\mathcal{M}}_B = \vec{\mathcal{M}}_A + \vec{BA} \land \vec{R}\)
Deux forces	Colinéaires et opposées
Trois forces	Coplanaires et concourantes
Frottement	$
Isostatisme	\(n_{inconnues} = n_{équations}\)
Hyperstatisme	\(h = n_{inconnues} - n_{équations}\)