Logarithmes et décibels en propagation d'ondes
Rappels sur les logarithmes
Logarithme népérien (naturel)
Le logarithme népérien, noté \(\ln(x)\), est le logarithme de base \(e\) :
Avec \(e = 2.718...\)
Propriétés fondamentales :
- \(\ln(1) = 0\)
- \(\ln(e) = 1\)
- \(\ln(xy) = \ln(x) + \ln(y)\)
- \(\ln\left(\frac{x}{y}\right) = \ln(x) - \ln(y)\)
- \(\ln(x^n) = n \ln(x)\)
Logarithme décimal
Le logarithme décimal, noté \(\log(x)\) ou \(\log_{10}(x)\), est le logarithme de base 10 :
Propriétés fondamentales :
- \(\log(1) = 0\)
- \(\log(10) = 1\)
- \(\log(100) = 2\)
- \(\log(xy) = \log(x) + \log(y)\)
- \(\log\left(\frac{x}{y}\right) = \log(x) - \log(y)\)
- \(\log(x^n) = n \log(x)\)
Changement de base
Le décibel (dB)
Définition générale
Le décibel exprime un rapport de grandeurs en échelle logarithmique :
Pour les puissances, ou :
Pour les amplitudes (tension, courant, champ).
Avantages du décibel
- Compression d'échelle : représenter de très grandes plages de valeurs
- Multiplication → Addition : \(P_1 \times P_2 \rightarrow dB_1 + dB_2\)
- Perception logarithmique : correspond à la perception humaine
Types de décibels en propagation
dB (décibel relatif)
Définition : Rapport sans référence absolue
Exemples :
- Gain d'un amplificateur : +20 dB
- Atténuation d'un câble : -3 dB
- Directivité d'une antenne : +15 dB
dBm (décibel milliwatt)
Définition : Puissance référencée à 1 mW
Exemples :
- 1 mW = 0 dBm
- 10 mW = 10 dBm
- 100 mW = 20 dBm
- 1 W = 30 dBm
- 0.1 mW = -10 dBm
Conversion : \(\(P_{mW} = 10^{\frac{P_{dBm}}{10}}\)\)
dBW (décibel watt)
Définition : Puissance référencée à 1 W
Relation avec dBm : \(\(P_{dBW} = P_{dBm} - 30\)\)
Exemples :
- 1 W = 0 dBW = 30 dBm
- 10 W = 10 dBW = 40 dBm
- 100 W = 20 dBW = 50 dBm
dBµV (décibel microvolt)
Définition : Tension référencée à 1 µV
Exemples :
- 1 µV = 0 dBµV
- 10 µV = 20 dBµV
- 1 mV = 60 dBµV
- 1 V = 120 dBµV
dBi et dBd (gain d'antenne)
dBi : Gain par rapport à une antenne isotrope dBd : Gain par rapport à un dipôle demi-onde
Applications en propagation d'ondes
Bilan de liaison
Tous les termes en dB s'additionnent algébriquement.
Atténuation en espace libre
Avec :
- \(d\) : distance
- \(\lambda\) : longueur d'onde
Formule de Friis
En dB : \(\(P_r = P_t + G_t + G_r - 20\log_{10}\left(\frac{4\pi d}{\lambda}\right)\)\)
Valeurs de référence courantes
Puissances typiques
| Puissance | dBm | dBW |
|---|---|---|
| 1 pW | -90 | -120 |
| 1 nW | -60 | -90 |
| 1 µW | -30 | -60 |
| 1 mW | 0 | -30 |
| 1 W | 30 | 0 |
| 1 kW | 60 | 30 |
Tensions typiques (50Ω)
| Tension | dBµV | dBmV |
|---|---|---|
| 1 µV | 0 | -60 |
| 10 µV | 20 | -40 |
| 100 µV | 40 | -20 |
| 1 mV | 60 | 0 |
| 10 mV | 80 | 20 |
Calculs pratiques
Règles de conversion rapide
Facteur 2 : +3 dB (puissance) ou +6 dB (amplitude) Facteur 10 : +10 dB (puissance) ou +20 dB (amplitude)
Exemples de calcul
Exemple 1 : Émetteur 100 mW, gain antenne +10 dBi
- \(P_{émise} = 100 \text{ mW} = 20 \text{ dBm}\)
- \(P_{PIRE} = 20 + 10 = 30 \text{ dBm} = 1 \text{ W}\)
Exemple 2 : Atténuation câble -2 dB, signal d'entrée 10 dBm
- \(P_{sortie} = 10 - 2 = 8 \text{ dBm}\)
- \(P_{sortie} = 10^{8/10} = 6.31 \text{ mW}\)
Exemple 3 : Conversion dBm vers dBW
- \(P = 40 \text{ dBm}\)
- \(P = 40 - 30 = 10 \text{ dBW} = 10 \text{ W}\)
Applications spécifiques
Télécommunications
- Sensibilité récepteur : -100 dBm typique
- Puissance émetteur GSM : +33 dBm (2W)
- Puissance WiFi : +20 dBm (100 mW)
Radar
- Équation radar : \(\(P_r = \frac{P_t G_t G_r \lambda^2 \sigma}{(4\pi)^3 d^4}\)\)
En dB : \(\(P_r = P_t + G_t + G_r + 20\log_{10}(\lambda) + 10\log_{10}(\sigma) - 30\log_{10}(4\pi) - 40\log_{10}(d)\)\)
Mesures RF
- Analyseur de spectre : affichage en dBm
- Générateur RF : réglage en dBm
- Atténuateurs : valeurs en dB
- Amplificateurs : gain en dB