Analyse de Fourier pour l'ingénieur

Série de Fourier

Forme trigonométrique

Pour un signal périodique \(f(t)\) de période \(T\) :

\[f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos(n\omega_0 t) + b_n \sin(n\omega_0 t) \right]\]

Avec \(\omega_0 = \frac{2\pi}{T}\) et :

\[a_0 = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) dt\]

\[a_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \cos(n\omega_0 t) dt\]

\[b_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \sin(n\omega_0 t) dt\]

Forme amplitude-phase

\[f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} A_n \cos(n\omega_0 t + \varphi_n)\]

Avec :

\[A_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2}\]

\[\varphi_n = -\arctan\left(\frac{b_n}{a_n}\right)\]

Expression en fonction de l'angle

Pour un signal exprimé en fonction de l'angle \(\theta = \omega_0 t\) (avec \(\theta \in [0, 2\pi]\)) :

\[f(\theta) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos(n\theta) + b_n \sin(n\theta) \right]\]

Les coefficients deviennent :

\[a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(\theta) d\theta\]

\[a_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(\theta) \cos(n\theta) d\theta\]

\[b_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(\theta) \sin(n\theta) d\theta\]

Remarque : Le facteur \(\frac{2}{T}\) devient \(\frac{1}{\pi}\) car \(T = 2\pi\) en angle.

Forme complexe

\[f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{jn\omega_0 t}\]

\[c_n = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e^{-jn\omega_0 t} dt\]

Avantages de la forme complexe :

Calculs plus simples : un seul coefficient \(c_n\) au lieu de \(a_n\) et \(b_n\)
Dérivation/intégration : \(\frac{d}{dt}[e^{jn\omega_0 t}] = jn\omega_0 e^{jn\omega_0 t}\)
Convolution : produit simple dans le domaine fréquentiel
Systèmes linéaires : réponse à \(e^{jn\omega_0 t}\) est \(H(jn\omega_0)e^{jn\omega_0 t}\)
Analyse spectrale : visualisation directe du spectre

Quand utiliser la forme complexe :

Analyse de systèmes de communication
Traitement numérique du signal
Calculs de réponse fréquentielle
Modulation/démodulation
Filtrage numérique

Quand utiliser la forme trigonométrique :

Signaux physiques réels (tensions, courants)
Calculs de puissance
Dimensionnement de composants
Applications en électrotechnique

Signaux en électrotechnique

Signal sinusoïdal redressé simple alternance

\[f(t) = \begin{cases} A \sin(\omega t) & \text{si } 0 \leq t \leq \frac{\pi}{\omega} \\ 0 & \text{si } \frac{\pi}{\omega} < t < \frac{2\pi}{\omega} \end{cases}\]

Décomposition : \(\(f(t) = \frac{A}{\pi} - \frac{2A}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(2n\omega t)}{4n^2-1}\)\)

Signal sinusoïdal redressé double alternance

\[f(t) = A |\sin(\omega t)|\]

Décomposition : \(\(f(t) = \frac{2A}{\pi} - \frac{4A}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(2n\omega t)}{4n^2-1}\)\)

Signal carré

\[f(t) = \begin{cases} A & \text{si } 0 \leq t < \frac{T}{2} \\ -A & \text{si } \frac{T}{2} \leq t < T \end{cases}\]

Décomposition : \(\(f(t) = \frac{4A}{\pi} \sum_{n=1,3,5...}^{\infty} \frac{\sin(n\omega_0 t)}{n}\)\)

Signal triangulaire

\[f(t) = \frac{4A}{T}t - A \quad \text{pour } 0 \leq t \leq \frac{T}{2}\]

Décomposition : \(\(f(t) = \frac{8A}{\pi^2} \sum_{n=1,3,5...}^{\infty} \frac{(-1)^{\frac{n-1}{2}}}{n^2} \sin(n\omega_0 t)\)\)

Signaux en électronique de puissance

Hacheur série (MLI)

Signal rectangulaire avec rapport cyclique \(\alpha\) :

\[f(t) = \begin{cases} E & \text{si } 0 \leq t < \alpha T \\ 0 & \text{si } \alpha T \leq t < T \end{cases}\]

Décomposition : \(\(f(t) = \alpha E + \frac{2E}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n\pi\alpha)}{n} \cos(n\omega_0 t)\)\)

Onduleur triphasé

Tension simple d'un onduleur 120° :

Décomposition : \(\(v_{AN}(t) = \frac{4E}{3\pi} \sum_{n=1,5,7,11...}^{\infty} \frac{\cos(n\pi/6)}{n} \sin(n\omega t)\)\)

Redresseur triphasé

Tension redressée (pont de Graetz triphasé) :

Décomposition : \(\(v_d(t) = \frac{3\sqrt{3}E}{\pi} \left[ 1 - \frac{2}{35} \cos(6\omega t) - \frac{2}{143} \cos(12\omega t) - ... \right]\)\)

Signal en créneaux décalés (onduleur multiniveaux)

Pour un onduleur 3 niveaux :

Décomposition : \(\(f(t) = \frac{4E}{\pi} \sum_{n=1,3,5...}^{\infty} \frac{\cos(n\pi/3)}{n} \sin(n\omega_0 t)\)\)

Propriétés utiles

Tableau des symétries

Type de symétrie	Condition	Coefficients nuls	Exemple
Fonction paire	\(f(t) = f(-t)\)	\(b_n = 0\) (tous)	Cosinus, signal triangulaire symétrique
Fonction impaire	\(f(t) = -f(-t)\)	\(a_0 = 0\), \(a_n = 0\) (tous)	Sinus, signal carré centré
Symétrie glissante	\(f(t) = -f(t + T/2)\)	\(a_0 = 0\), \(a_n = 0\) et \(b_n = 0\) pour \(n\) pair	Signal carré, signal triangulaire
Paire + glissante	Paire et \(f(t) = -f(t + T/2)\)	\(a_0 = 0\), \(b_n = 0\) (tous), \(a_n = 0\) pour \(n\) pair	Redressement double alternance
Impaire + glissante	Impaire et \(f(t) = -f(t + T/2)\)	\(a_0 = 0\), \(a_n = 0\) (tous), \(b_n = 0\) pour \(n\) pair	Signal carré antisymétrique

Remarques importantes :

La symétrie glissante élimine les harmoniques pairs (seuls les rangs impairs subsistent)
Un signal carré centré est impaire + glissante → seuls les \(b_n\) impairs sont non nuls
Un signal redressé double alternance est pair + glissante → seuls les \(a_n\) impairs sont non nuls

Autres symétries

Fonction paire : \(b_n = 0\)
Fonction impaire : \(a_n = 0\)
Symétrie glissante : harmoniques pairs nuls

Valeurs efficaces

\[F_{eff}^2 = \frac{a_0^2}{4} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} (a_n^2 + b_n^2)\]

Taux de distorsion harmonique (THD)

\[THD = \frac{\sqrt{\sum_{n=2}^{\infty} F_n^2}}{F_1} \times 100\%\]

Applications pratiques

Filtrage harmonique

Filtre LC : atténuation des harmoniques de rang élevé
Filtre actif : compensation sélective d'harmoniques

Dimensionnement

Condensateurs : prise en compte des harmoniques de courant
Transformateurs : facteur de forme et pertes supplémentaires
Câbles : échauffement dû aux harmoniques

Normes

IEEE 519 : limites d'harmoniques en tension et courant
CEI 61000 : compatibilité électromagnétique