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Transformateur monophasé

Principe de fonctionnement

Constitution

  • Primaire : \(N_1\) spires, tension \(U_1\), courant \(I_1\)
  • Secondaire : \(N_2\) spires, tension \(U_2\), courant \(I_2\)
  • Noyau magnétique : flux \(\Phi\)

Rapport de transformation

\(m = \frac{N_2}{N_1} = \frac{U_2}{U_1}\)

Équations fondamentales

Loi de Faraday

\(e_1 = -N_1 \frac{d\Phi}{dt}\)

\(e_2 = -N_2 \frac{d\Phi}{dt}\)

Relations tensions-courants (transformateur parfait)

\(\frac{U_2}{U_1} = \frac{N_2}{N_1} = m\)

\(\frac{I_1}{I_2} = \frac{N_2}{N_1} = m\)

Modèle équivalent

Schéma équivalent ramené au primaire

I₁ ----R₁----L₁σ----+----R₂'----L₂σ'----I₂'
                     |
U₁                  Lμ                    U₂'
                     |
                    ---

Avec :

  • R₁ : résistance du primaire
  • R₂' : résistance du secondaire rapportée au primaire
  • L₁σ, L₂σ' : inductances de fuite
  • Lμ : inductance magnétisante

Démonstration : résistance équivalente rapportée

Hypothèses

  • Transformateur en charge avec résistance \(R_2\) au secondaire
  • Pertes par effet Joule dans les enroulements

Puissance dissipée au secondaire

\(P_2 = R_2 I_2^2\)

Condition d'équivalence

Pour que le modèle ramené au primaire soit équivalent, la puissance dissipée dans \(R_2'\) doit égaler celle dissipée dans \(R_2\) :

\(P_2' = R_2' I_2'^2 = P_2 = R_2 I_2^2\)

Relations de transformation

Relations exactes : * Tension : \(U_2' = \frac{U_2}{m}\) * Courant : \(I_2' = m \cdot I_2\)

Calcul de la résistance équivalente

\(P_2' = P_2\)

\(R_2' I_2'^2 = R_2 I_2^2\)

\(R_2' (m I_2)^2 = R_2 I_2^2\)

\(R_2' m^2 I_2^2 = R_2 I_2^2\)

Résultat : \(R_2' = \frac{R_2}{m^2}\)

Généralisation

Pour toute impédance \(Z_2\) au secondaire : \(Z_2' = \frac{Z_2}{m^2}\)

Essais normalisés

Essai à vide

  • But : déterminer les pertes fer et l'inductance magnétisante
  • Montage : secondaire ouvert, mesure U₁, I₁₀, P₁₀

\(R_\mu = \frac{U_1^2}{P_{10}}\)

\(L_\mu = \frac{U_1^2}{Q_{10} \omega}\)

Essai en court-circuit

  • But : déterminer les pertes cuivre et inductances de fuite
  • Montage : secondaire en court-circuit, tension réduite au primaire

\(R_{cc} = R_1 + R_2' = \frac{P_{cc}}{I_{1cc}^2}\)

\(L_{cc} = L_{1\sigma} + L_{2\sigma}' = \frac{Q_{cc}}{\omega I_{1cc}^2}\)

Bilan énergétique

Pertes

  • Pertes fer : P_fer = P₁₀ (hystérésis + courants de Foucault)
  • Pertes cuivre : P_cu = R₁I₁² + R₂I₂²

Rendement

\(\eta = \frac{P_2}{P_1} = \frac{P_2}{P_2 + P_{fer} + P_{cu}}\)

Rendement maximal

Le rendement est maximal quand : \(P_{fer} = P_{cu}\)

Chute de tension

Chute de tension relative

\(\Delta u = \frac{U_{20} - U_2}{U_{20}} \times 100\%\)

Approximation de Kapp

Pour \(\Delta u < 10\%\) : \(\Delta u \approx \frac{R_{cc} \cos \varphi_2 + X_{cc} \sin \varphi_2}{m^2} \times 100\%\)

Applications

Transformateur de distribution

  • Adaptation de tension réseau/utilisateur
  • Isolation galvanique
  • Réduction des pertes en ligne

Transformateur de mesure

  • TT : transformateur de tension
  • TI : transformateur d'intensité
  • Isolation et adaptation pour instruments

Autotransformateur

  • Économie de cuivre (30% de moins)
  • Pas d'isolation galvanique
  • Rapport de transformation proche de 1