Bobine à noyau de fer

Introduction

La bobine à noyau de fer est un composant fondamental des machines électriques. Elle permet de concentrer et canaliser le flux magnétique grâce aux propriétés ferromagnétiques du noyau.

Loi de Lenz

Énoncé

La loi de Lenz stipule que le sens du courant induit est tel qu'il s'oppose par ses effets à la cause qui lui a donné naissance.

Autrement dit, la force électromotrice induite crée un courant qui produit un flux magnétique s'opposant à la variation du flux initial.

Conséquences

La bobine s'oppose aux variations de courant
L'énergie est nécessaire pour établir le champ magnétique
Principe de conservation de l'énergie respecté

Théorème d'Ampère

Le théorème d'Ampère établit la relation entre le champ magnétique et les courants qui le créent :

\[\oint \vec{H} \cdot d\vec{l} = N \cdot I\]

Pour une bobine à noyau de fer :

Dans le fer : \(H_{fer} \cdot l_{fer}\)
Dans l'entrefer : \(H_{air} \cdot e\)

\[H_{fer} \cdot l_{fer} + H_{air} \cdot e = N \cdot I\]

Où :

\(N\) : nombre de spires
\(I\) : courant dans la bobine
\(l_{fer}\) : longueur du circuit magnétique dans le fer
\(e\) : épaisseur de l'entrefer

Loi de Hopkinson

Analogie électrique-magnétique

La loi de Hopkinson établit une analogie avec la loi d'Ohm :

\[\Phi = \frac{F}{\mathcal{R}}\]

Où :

\(\Phi\) : flux magnétique (Wb)
\(F\) : force magnétomotrice (A.t)
\(\mathcal{R}\) : réluctance magnétique (A.t/Wb)

Force magnétomotrice

\[F = N \cdot I\]

Réluctance magnétique

Pour un circuit magnétique homogène :

\[\mathcal{R} = \frac{l}{\mu \cdot S}\]

Avec :

\(l\) : longueur du circuit magnétique
\(\mu\) : perméabilité magnétique
\(S\) : section du circuit magnétique

Circuit magnétique composite

Pour un circuit fer + entrefer :

\[\mathcal{R}_{total} = \mathcal{R}_{fer} + \mathcal{R}_{air}\]

\[\mathcal{R}_{total} = \frac{l_{fer}}{\mu_r \mu_0 S} + \frac{e}{\mu_0 S}\]

Relations fondamentales

Induction magnétique

Dans le fer : \(B_{fer} = \mu_r \mu_0 H_{fer}\)

Dans l'air : \(B_{air} = \mu_0 H_{air}\)

Continuité du flux

\[\Phi = B \cdot S = constante\]

Donc : \(B_{fer} = B_{air} = B\) (même section)

Flux et inductance

\[\Phi = L \cdot I\]

\[L = \frac{N^2}{\mathcal{R}_{total}}\]

Caractéristique B(H) du fer

Courbe de première aimantation

La relation B(H) dans le fer n'est pas linéaire :

Zone linéaire : \(B = \mu_r \mu_0 H\) (faibles champs)
Zone de coude : début de saturation
Zone de saturation : \(B \approx B_{sat}\) (constante)

Perméabilité relative

\[\mu_r = \frac{B}{\mu_0 H}\]

Valeurs typiques :

Fer doux : \(\mu_r = 1000\) à \(5000\)
Acier au silicium : \(\mu_r = 2000\) à \(8000\)

Calcul pratique

Méthode de résolution

Hypothèse : \(B = B_{supposé}\)
Calcul du flux : \(\Phi = B \cdot S\)
Réluctance fer : \(\mathcal{R}_{fer} = \frac{l_{fer}}{\mu_r(B) \mu_0 S}\)
Réluctance air : \(\mathcal{R}_{air} = \frac{e}{\mu_0 S}\)
Courant nécessaire : \(I = \frac{\Phi \cdot \mathcal{R}_{total}}{N}\)
Vérification et itération si nécessaire

Approximations courantes

Pour les calculs préliminaires :

Négliger la réluctance du fer si \(e >> \frac{l_{fer}}{\mu_r}\)
\(\mathcal{R} \approx \mathcal{R}_{air} = \frac{e}{\mu_0 S}\)

Applications pratiques

Électroaimant

Maximiser la force : minimiser l'entrefer
Contrôler le flux par le courant
Éviter la saturation magnétique

Transformateur

Minimiser les pertes : fer à grains orientés
Réduire les fuites : circuit magnétique fermé
Optimiser le couplage entre enroulements

Machine tournante

Entrefer minimal pour maximiser le couple
Forme des pièces polaires pour uniformiser B
Matériaux magnétiques adaptés à la fréquence

Pertes magnétiques

Pertes par hystérésis

\[P_h = k_h \cdot f \cdot B_{max}^n \cdot V\]

Pertes par courants de Foucault

\[P_f = k_f \cdot f^2 \cdot B_{max}^2 \cdot V\]

Réduction des pertes

Tôles feuilletées (courants de Foucault)
Matériaux à faible hystérésis
Optimisation de l'induction de travail

Exemple de calcul

Données

Bobine : N = 1000 spires
Noyau fer : \(l_{fer} = 30\) cm, \(S = 10\) cm²
Entrefer : \(e = 1\) mm
Induction souhaitée : \(B = 1\) T

Calcul

\(\Phi = B \cdot S = 1 \times 10 \times 10^{-4} = 10^{-3}\) Wb
\(\mathcal{R}_{air} = \frac{10^{-3}}{4\pi \times 10^{-7} \times 10^{-3}} = 796\) kA.t/Wb
\(\mathcal{R}_{fer} = \frac{0.3}{2000 \times 4\pi \times 10^{-7} \times 10^{-3}} = 119\) A.t/Wb
\(\mathcal{R}_{total} = 796119\) A.t/Wb ≈ \(\mathcal{R}_{air}\)
\(I = \frac{10^{-3} \times 796000}{1000} = 0.8\) A

L'entrefer domine largement la réluctance totale.