Bobines en électronique de puissance

Introduction

En électronique de puissance, les bobines (inductances) jouent un rôle crucial dans le stockage d'énergie, le filtrage et la limitation des variations de courant. Elles sont omniprésentes dans les convertisseurs statiques.

Principe physique

Loi de Lenz-Faraday

\[u_L = L \frac{di_L}{dt}\]

La bobine s'oppose aux variations de courant qui la traverse.

Énergie stockée

\[W_L = \frac{1}{2} L i_L^2\]

L'énergie est stockée sous forme de champ magnétique.

Relation courant-tension

En régime sinusoïdal : \(Z_L = j L \omega\)

En régime continu : \(Z_L = 0\) (court-circuit)

Types de bobines en électronique de puissance

Inductance de lissage

Fonction : Réduire l'ondulation du courant

Applications :

Sortie des hacheurs
Filtres d'entrée et de sortie
Limitation du \(\frac{di}{dt}\)

Dimensionnement : \(\(\Delta i_L = \frac{U \cdot \Delta t}{L}\)\)

Inductance de mode commun

Fonction : Filtrer les perturbations de mode commun

Principe : Bobinage bifilar sur même noyau

Courants différentiels : flux s'opposent
Courants de mode commun : flux s'additionnent

Inductance couplée (transformateur)

Fonction : Isolation galvanique et adaptation

Applications :

Alimentations à découpage isolées
Convertisseurs flyback, forward
Transformateurs de courant

Comportement en commutation

Régime établi

Pour un hacheur série (Buck) :

\[i_L(t) = I_L + \frac{\Delta i_L}{2} \left(1 - \frac{2t}{T_{on}}\right)\]

Pendant la phase ON (\(0 < t < \alpha T\)).

Ondulation de courant

\[\Delta i_L = \frac{V_e \alpha (1-\alpha) T}{L}\]

Avec :

\(V_e\) : tension d'entrée
\(\alpha\) : rapport cyclique
\(T\) : période de commutation

Courant critique

Le courant devient discontinu si :

\[I_L < \frac{\Delta i_L}{2}\]

Dimensionnement pratique

Calcul de l'inductance

Critère d'ondulation : \(\(L = \frac{V_e \alpha (1-\alpha) T}{\Delta i_L}\)\)

Critère de conduction continue : \(\(L > \frac{V_e \alpha (1-\alpha) T}{2 I_{L,min}}\)\)

Choix du noyau magnétique

Produit des aires : \(\(A_e \cdot A_w = \frac{L \cdot I_{max}^2}{B_{max} \cdot J_{max} \cdot k_u}\)\)

Avec :

\(A_e\) : section effective du noyau
\(A_w\) : section de bobinage
\(B_{max}\) : induction maximale
\(J_{max}\) : densité de courant maximale
\(k_u\) : coefficient de remplissage

Nombre de spires

\[N = \frac{L \cdot I_{max}}{B_{max} \cdot A_e}\]

Pertes dans les bobines

Pertes cuivre (Joule)

\[P_{cu} = R_{dc} \cdot I_{eff}^2 + R_{ac} \cdot I_{eff,ac}^2\]

Effet de peau : \(R_{ac} > R_{dc}\) aux hautes fréquences

Épaisseur de peau : \(\(\delta = \sqrt{\frac{2}{\omega \mu_0 \sigma}}\)\)

Pertes fer

Pertes par hystérésis : \(\(P_h = k_h \cdot f \cdot B_{max}^n \cdot V_{fer}\)\)

Pertes par courants de Foucault : \(\(P_f = k_f \cdot f^2 \cdot B_{max}^2 \cdot V_{fer}\)\)

Formule de Steinmetz : \(\(P_{fer} = k \cdot f^{\alpha} \cdot B_{max}^{\beta} \cdot V_{fer}\)\)

Technologies de noyaux

Ferrites

Avantages :

Faibles pertes HF
Haute résistivité
Facilité d'usinage

Inconvénients :

Saturation à faible induction
Fragilité mécanique

Applications : Convertisseurs HF (> 20 kHz)

Poudre de fer

Avantages :

Entrefer distribué
Pas de saturation brutale
Robustesse

Inconvénients :

Pertes plus élevées
Perméabilité limitée

Applications : Inductances de puissance BF

Nanocrystallin

Avantages :

Très haute perméabilité
Faibles pertes
Stabilité thermique

Applications : Inductances de mode commun, transformateurs HF

Conception thermique

Résistance thermique

\[R_{th} = \frac{\Delta T}{P_{pertes}}\]

Modèle thermique : \(\(T_{bobinage} = T_{ambiante} + P_{pertes} \cdot R_{th}\)\)

Refroidissement

Convection naturelle : \(R_{th} = 20-50\) K/W

Convection forcée : \(R_{th} = 5-15\) K/W

Dissipateur : \(R_{th} < 5\) K/W

Applications spécifiques

Hacheur Buck (abaisseur)

\[L_{min} = \frac{V_e (1-\alpha)^2 T}{2 I_{charge}}\]

Ondulation : \(\Delta i_L = \frac{V_e \alpha (1-\alpha) T}{L}\)

Hacheur Boost (élévateur)

\[L_{min} = \frac{V_e \alpha^2 T}{2 I_e}\]

Ondulation : \(\Delta i_L = \frac{V_e \alpha T}{L}\)

Convertisseur Flyback

Énergie transférée : \(\(E = \frac{1}{2} L I_{pk}^2\)\)

Inductance magnétisante : \(\(L_m = \frac{V_e^2 \alpha^2 T^2}{2 P_{out} (1-\alpha)}\)\)

PFC (Correction du facteur de puissance)

Inductance boost : \(\(L = \frac{V_{in}^2 \sin^2(\omega t) T}{2 \Delta i_L P_{out}}\)\)

Mesures et caractérisation

Mesure d'inductance

Pont RLC : Mesure précise à différentes fréquences

Analyseur d'impédance : Caractérisation complète

Méthode temporelle : \(L = \frac{u \cdot \Delta t}{\Delta i}\)

Caractérisation des pertes

Calorimétrie : Mesure directe des pertes totales

Analyseur de puissance : Séparation pertes cuivre/fer

Courbe B(H) : Mesure des pertes fer

Saturation magnétique

Inductancemètre : Variation de L avec le courant

Oscilloscope : Observation de la déformation du courant

Règles de conception

Optimisation

Minimiser les pertes totales : \(P_{cu} + P_{fer}\)
Respecter les contraintes thermiques : \(T < T_{max}\)
Éviter la saturation : \(B < B_{sat}\)
Optimiser le volume/coût

Compromis fréquence/volume

Haute fréquence :

Inductance plus faible
Volume réduit
Pertes commutation accrues

Basse fréquence :

Inductance plus élevée
Volume important
Pertes commutation réduites

Exemple de dimensionnement

Cahier des charges

Hacheur Buck 12V → 5V
Courant de sortie : 10 A
Fréquence : 100 kHz
Ondulation : 10% du courant

Calcul

Rapport cyclique : \(\alpha = \frac{5}{12} = 0.42\)
Ondulation : \(\Delta i_L = 0.1 \times 10 = 1\) A
Inductance : \(L = \frac{12 \times 0.42 \times 0.58 \times 10^{-5}}{1} = 29.2\) µH
Courant efficace : \(I_{eff} = \sqrt{10^2 + \frac{1^2}{12}} = 10.03\) A
Choix noyau : ETD34 ferrite N87