Fréquence propre : pourquoi \(f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\) ?

Le modèle masse–ressort–amortisseur

Le comportement vibratoire d'un grand nombre de systèmes mécaniques peut être modélisé par un système à un degré de liberté composé de trois éléments :

Paramètre	Symbole	Unité	Rôle physique
Masse	\(m\)	kg	Inertie — résistance à l'accélération
Raideur du ressort	\(k\)	N/m	Rappel élastique — restitution d'énergie
Coefficient d'amortissement	\(c\)	N·s/m	Dissipation d'énergie (frottement visqueux)

La variable \(x(t)\) désigne le déplacement de la masse par rapport à sa position d'équilibre, et \(F(t)\) l'effort extérieur appliqué.

Équation du mouvement (domaine temporel)

En appliquant le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) à la masse \(m\), on somme les forces qui s'exercent sur elle :

Force de rappel du ressort : \(-k\,x\)
Force d'amortissement visqueux : \(-c\,\dot{x}\)
Excitation extérieure : \(F(t)\)

On obtient l'équation différentielle du second ordre :

\[\boxed{m\,\ddot{x}(t) + c\,\dot{x}(t) + k\,x(t) = F(t)}\]

Cette équation gouverne le comportement dynamique du système : les trois paramètres \(m\), \(c\) et \(k\) apparaissent explicitement.

Passage dans le domaine de Laplace

En appliquant la transformée de Laplace à l'équation du mouvement, avec des conditions initiales nulles (\(x(0) = 0\), \(\dot{x}(0) = 0\)), et en utilisant les propriétés de dérivation :

\[\mathcal{L}\{\dot{x}\} = s\,X(s) \qquad \mathcal{L}\{\ddot{x}\} = s^2 X(s)\]

L'équation devient algébrique :

\[m s^2 X(s) + c s\, X(s) + k\, X(s) = F(s)\]

Soit, en factorisant :

\[\boxed{\left(m s^2 + c s + k\right) X(s) = F(s)}\]

Fonction de transfert

La fonction de transfert \(H(s)\) est définie comme le rapport entre la sortie \(X(s)\) et l'entrée \(F(s)\) :

\[H(s) = \frac{X(s)}{F(s)} = \frac{1}{m s^2 + c s + k}\]

On reconnaît le dénominateur du second degré en \(s\), dont les racines déterminent le comportement dynamique du système.

Mise sous forme canonique du second ordre

On factorise le dénominateur par \(k\) pour faire apparaître les paramètres caractéristiques classiques :

\[H(s) = \frac{1/k}{\dfrac{m}{k}\,s^2 + \dfrac{c}{k}\,s + 1}\]

On pose :

\[\frac{m}{k} = \frac{1}{\omega_0^2} \implies \boxed{\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}}\]

\[\frac{c}{k} = \frac{2\xi}{\omega_0} \implies \xi = \frac{c}{2\sqrt{km}}\]

La fonction de transfert prend alors la forme canonique du second ordre :

\[\boxed{H(s) = \frac{1/k}{\dfrac{s^2}{\omega_0^2} + \dfrac{2\xi}{\omega_0}\,s + 1}}\]

où :

\(\omega_0\) [rad/s] est la pulsation propre (ou pulsation naturelle)
\(\xi\) (sans unité) est le facteur d'amortissement
\(f_0 = \dfrac{\omega_0}{2\pi}\) [Hz] est la fréquence propre

Interprétation physique de \(f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\)

La fréquence propre traduit l'équilibre entre deux tendances antagonistes :

\[f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\]

\(k\) grand (ressort raide) → le rappel est fort → le système oscille rapidement → \(f_0\) élevée
\(m\) grand (masse importante) → l'inertie freine le mouvement → le système oscille lentement → \(f_0\) faible

Remarque sur l'amortissement

La fréquence propre \(f_0\) est la fréquence d'oscillation en l'absence d'amortissement (\(c = 0\), \(\xi = 0\)). En présence d'amortissement, la fréquence d'oscillation effective est légèrement inférieure : \(\(f_d = f_0\sqrt{1 - \xi^2}\)\) Pour les systèmes peu amortis (\(\xi \ll 1\)), on a \(f_d \approx f_0\).

Résonance

Lorsque le système est soumis à une excitation sinusoïdale dont la fréquence se rapproche de \(f_0\), l'amplitude de la réponse peut augmenter considérablement. C'est le phénomène de résonance, particulièrement critique en conception mécanique.

Récapitulatif des paramètres

Grandeur	Expression	Dépend de
Pulsation propre	\(\omega_0 = \sqrt{k/m}\)	\(k\) et \(m\) uniquement
Fréquence propre	\(f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{k/m}\)	\(k\) et \(m\) uniquement
Facteur d'amortissement	\(\xi = \frac{c}{2\sqrt{km}}\)	\(c\), \(k\) et \(m\)
Fréquence amortie	\(f_d = f_0\sqrt{1-\xi^2}\)	\(k\), \(m\) et \(c\)