Formule de Bour — Composition des mouvements en SII

Fiche de préparation à l'agrégation SII — formalisme rigoureux des changements de référentiel, avec application à une centrifugeuse à bras variable.

1. Pourquoi changer de référentiel ?

En Sciences Industrielles de l'Ingénieur, les systèmes mécaniques comportent souvent plusieurs solides en mouvement relatif : un bras qui tourne, un plateau qui pivote, un coulisseau qui translate dans un référentiel tournant. L'analyse directe dans le référentiel absolu conduit à des expressions vectorielles difficiles à manipuler.

La formule de Bour (aussi appelée loi de composition des dérivées vectorielles) est l'outil fondamental qui relie la dérivée temporelle d'un vecteur dans deux référentiels différents. Elle est à la base de toutes les formules de composition des vitesses et des accélérations.

2. Référentiels et vecteur taux de rotation

2.1 Notations

Soient deux référentiels :

$\mathcal{R}_0 = (O_0,\, \vec{x}_0,\, \vec{y}_0,\, \vec{z}_0)$ — référentiel absolu (ou galiléen)
$\mathcal{R}_1 = (O_1,\, \vec{x}_1,\, \vec{y}_1,\, \vec{z}_1)$ — référentiel mobile (solidaire d'un solide en rotation)

Le mouvement de $\mathcal{R}_1$ par rapport à $\mathcal{R}_0$ est caractérisé par le vecteur taux de rotation :

\[\vec{\Omega}(\mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0) = \dot{\theta}\,\vec{z}_0\]

pour une rotation d'axe $\vec{z}_0$ d'angle $\theta(t)$.

Signe et sens

Par convention SI, $\vec{\Omega}$ est positif dans le sens trigonométrique. Sur un axe vertical, $\vec{\Omega} = \dot{\theta}\,\vec{z}$ avec $\dot{\theta} > 0$ pour une rotation dans le sens direct.

3. Formule de Bour

3.1 Énoncé

Soit $\vec{U}(t)$ un vecteur quelconque. Sa dérivée dans $\mathcal{R}_0$ est liée à sa dérivée dans $\mathcal{R}_1$ par :

\[ \boxed{ \left(\frac{\mathrm{d}\vec{U}}{\mathrm{d}t}\right)_{\!\mathcal{R}_0} = \left(\frac{\mathrm{d}\vec{U}}{\mathrm{d}t}\right)_{\!\mathcal{R}_1} + \vec{\Omega}(\mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0) \wedge \vec{U} } \]

3.2 Interprétation physique

La dérivée dans $\mathcal{R}_0$ se décompose en deux contributions :

$\left(\dfrac{\mathrm{d}\vec{U}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathcal{R}_1}$ : variation du vecteur mesurée depuis le référentiel mobile (composantes variables dans la base de $\mathcal{R}_1$)
$\vec{\Omega} \wedge \vec{U}$ : contribution purement due à la rotation de $\mathcal{R}_1$ par rapport à $\mathcal{R}_0$ (même si $\vec{U}$ est fixe dans $\mathcal{R}_1$, il tourne vu de $\mathcal{R}_0$)

Preuve rapide

Soit $\vec{U} = U_x\,\vec{x}_1 + U_y\,\vec{y}_1 + U_z\,\vec{z}_1$.

Dans $\mathcal{R}_0$ : $$\frac{\mathrm{d}\vec{U}}{\mathrm{d}t} = \dot{U}_x\,\vec{x}_1 + \dot{U}_y\,\vec{y}_1 + \dot{U}_z\,\vec{z}_1 + U_x\,\frac{\mathrm{d}\vec{x}_1}{\mathrm{d}t} + U_y\,\frac{\mathrm{d}\vec{y}_1}{\mathrm{d}t} + U_z\,\frac{\mathrm{d}\vec{z}_1}{\mathrm{d}t}$$

Les dérivées des vecteurs de base s'écrivent $\dfrac{\mathrm{d}\vec{x}_1}{\mathrm{d}t} = \vec{\Omega} \wedge \vec{x}_1$, etc. En factorisant, on retrouve la formule de Bour.

4. Composition des vitesses

4.1 Vitesse d'entraînement

Soit un point $P$ de coordonnées $\overrightarrow{O_1P}$ dans $\mathcal{R}_1$. La vitesse d'entraînement de $P$ est la vitesse qu'aurait $P$ s'il était fixe dans $\mathcal{R}_1$ :

\[\vec{V}_e(P/\mathcal{R}_0/\mathcal{R}_1) = \vec{V}(O_1/\mathcal{R}_0) + \vec{\Omega}(\mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0) \wedge \overrightarrow{O_1P}\]

4.2 Théorème de composition des vitesses

\[ \boxed{ \vec{V}(P/\mathcal{R}_0) = \vec{V}(P/\mathcal{R}_1) + \vec{V}_e(P/\mathcal{R}_0/\mathcal{R}_1) } \]

où $\vec{V}(P/\mathcal{R}_1) = \left(\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{O_1P}}{\mathrm{d}t}\right)_{\!\mathcal{R}_1}$ est la vitesse relative de $P$ dans $\mathcal{R}_1$.

5. Composition des accélérations

5.1 Accélération d'entraînement

\[\vec{a}_e(P/\mathcal{R}_0/\mathcal{R}_1) = \vec{a}(O_1/\mathcal{R}_0) + \dot{\vec{\Omega}} \wedge \overrightarrow{O_1P} + \vec{\Omega} \wedge \left(\vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{O_1P}\right)\]

5.2 Accélération de Coriolis

L'accélération de Coriolis apparaît dès que le point $P$ se déplace dans le référentiel tournant $\mathcal{R}_1$ :

\[\vec{a}_C = 2\,\vec{\Omega}(\mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0) \wedge \vec{V}(P/\mathcal{R}_1)\]

5.3 Théorème de composition des accélérations

\[ \boxed{ \vec{a}(P/\mathcal{R}_0) = \vec{a}(P/\mathcal{R}_1) + \vec{a}_e(P/\mathcal{R}_0/\mathcal{R}_1) + \vec{a}_C } \]

Accélération de Coriolis — pièges fréquents

Elle est nulle si $P$ est fixe dans $\mathcal{R}_1$ (pas de mouvement relatif).
Elle est nulle si $\vec{\Omega} = \vec{0}$ (référentiel non tournant).
Son sens est perpendiculaire à la fois à $\vec{\Omega}$ et à $\vec{V}(P/\mathcal{R}_1)$ : elle ne fait pas de travail dans $\mathcal{R}_0$.

6. Application — centrifugeuse à bras variable

6.1 Modélisation

Centrifugeuse à bras télescopique

Un bras de centrifugeuse tourne à la vitesse angulaire $\dot{\theta}(t)$ autour de l'axe vertical $\vec{z}$. La charge $P$ coulisse le long du bras à une distance variable $r(t)$ du centre $O$.

             z
             ↑
             |         P
             O-----r(t)→ ●
              \  θ(t)
               \

On définit :

$\mathcal{R}_0 = (O, \vec{x}_0, \vec{y}_0, \vec{z})$ — référentiel terrestre (absolu)
$\mathcal{R}_1 = (O, \vec{e}_r, \vec{e}_\theta, \vec{z})$ — référentiel lié au bras tournant

avec $\vec{e}_r = \cos\theta\,\vec{x}_0 + \sin\theta\,\vec{y}_0$ et $\vec{e}_\theta = -\sin\theta\,\vec{x}_0 + \cos\theta\,\vec{y}_0$.

Le vecteur taux de rotation est :

\[\vec{\Omega}(\mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0) = \dot{\theta}\,\vec{z}\]

6.2 Position

\[\overrightarrow{OP} = r(t)\,\vec{e}_r\]

6.3 Vitesse — application de la formule de Bour

On applique la formule de Bour à $\overrightarrow{OP}$ :

\[\vec{V}(P/\mathcal{R}_0) = \left(\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{OP}}{\mathrm{d}t}\right)_{\!\mathcal{R}_0} = \left(\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{OP}}{\mathrm{d}t}\right)_{\!\mathcal{R}_1} + \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OP}\]

Terme relatif : $\left(\dfrac{\mathrm{d}(r\,\vec{e}_r)}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathcal{R}_1} = \dot{r}\,\vec{e}_r$ (car $\vec{e}_r$ est fixe dans $\mathcal{R}_1$)
Terme d'entraînement : $\dot{\theta}\,\vec{z} \wedge r\,\vec{e}_r = r\dot{\theta}\,\vec{e}_\theta$

\[ \boxed{ \vec{V}(P/\mathcal{R}_0) = \dot{r}\,\vec{e}_r + r\dot{\theta}\,\vec{e}_\theta } \]

Composante	Expression	Signification
$\dot{r}\,\vec{e}_r$	Vitesse radiale	Coulissement du bras
$r\dot{\theta}\,\vec{e}_\theta$	Vitesse tangentielle	Entraînement par la rotation

6.4 Accélération — application du théorème de composition

On dérive $\vec{V}(P/\mathcal{R}_0)$ dans $\mathcal{R}_0$ en appliquant à nouveau la formule de Bour :

Dérivée de $\dot{r}\,\vec{e}_r$ dans $\mathcal{R}_0$ :

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\!\left(\dot{r}\,\vec{e}_r\right)_{\!\mathcal{R}_0} = \ddot{r}\,\vec{e}_r + \dot{r}\,(\dot{\theta}\,\vec{z} \wedge \vec{e}_r) = \ddot{r}\,\vec{e}_r + \dot{r}\dot{\theta}\,\vec{e}_\theta\]

Dérivée de $r\dot{\theta}\,\vec{e}_\theta$ dans $\mathcal{R}_0$ :

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\!\left(r\dot{\theta}\,\vec{e}_\theta\right)_{\!\mathcal{R}_0} = (\dot{r}\dot{\theta} + r\ddot{\theta})\,\vec{e}_\theta + r\dot{\theta}\,(\dot{\theta}\,\vec{z} \wedge \vec{e}_\theta) = (\dot{r}\dot{\theta} + r\ddot{\theta})\,\vec{e}_\theta - r\dot{\theta}^2\,\vec{e}_r\]

En additionnant et en regroupant par composante :

\[ \boxed{ \vec{a}(P/\mathcal{R}_0) = \left(\ddot{r} - r\dot{\theta}^2\right)\vec{e}_r + \left(r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta}\right)\vec{e}_\theta } \]

Composante	Expression	Signification physique
$\ddot{r}\,\vec{e}_r$	Accélération radiale relative	Accélération du coulissement
$-r\dot{\theta}^2\,\vec{e}_r$	Accélération centripète	Dirigée vers $O$, due à la rotation
$r\ddot{\theta}\,\vec{e}_\theta$	Accélération angulaire	Due à la variation de $\dot{\theta}$
$2\dot{r}\dot{\theta}\,\vec{e}_\theta$	Accélération de Coriolis	Due au couplage coulissement/rotation

Identification du terme de Coriolis

Le terme $2\dot{r}\dot{\theta}\,\vec{e}_\theta$ est bien $\vec{a}_C = 2\,\vec{\Omega} \wedge \vec{V}(P/\mathcal{R}_1)$ :

\[2\,\dot{\theta}\,\vec{z} \wedge \dot{r}\,\vec{e}_r = 2\dot{r}\dot{\theta}\,\vec{e}_\theta \quad \checkmark\]

6.5 Cas particulier — rotation uniforme, bras fixe

Si $\dot{\theta} = \omega = \text{cte}$ et $r = r_0 = \text{cte}$ (bras rigide, pas de coulissement) :

\[\vec{V}(P/\mathcal{R}_0) = r_0\,\omega\,\vec{e}_\theta\]

\[\vec{a}(P/\mathcal{R}_0) = -r_0\,\omega^2\,\vec{e}_r\]

On retrouve la seule accélération centripète $a_n = r_0\omega^2$, dirigée vers le centre, et le terme de Coriolis est nul ($\dot{r} = 0$).

7. Synthèse

graph TD
    B["Formule de Bour\n(dU/dt)_R0 = (dU/dt)_R1 + Ω ∧ U"]

    B --> V["Composition des vitesses\nV(P/R0) = V(P/R1) + Ve(P/R0/R1)"]
    B --> A["Composition des accélérations\na(P/R0) = a(P/R1) + ae + aC"]

    V --> VApp["Centrifugeuse :\nV = ṙ·er + rθ̇·eθ"]
    A --> AApp["Centrifugeuse :\na = (r̈ - rθ̇²)·er + (rθ̈ + 2ṙθ̇)·eθ"]

    A --> AC["Accélération de Coriolis\naC = 2Ω ∧ V(P/R1)\n→ apparaît si mouvement relatif ET rotation"]

Références

Merlet, J.-P. & Gosselin, C. Mécanique des robots parallèles. Hermès, 2006.
Renaud, M. Mécanique du solide. Cours INSA, 2003.
Programme de l'agrégation externe SII — épreuves de modélisation mécanique.
Beer, F. P. & Johnston, E. R. Vector Mechanics for Engineers. McGraw-Hill, 10ᵉ éd.

Composante	Expression	Signification
\(\dot{r}\,\vec{e}_r\)	Vitesse radiale	Coulissement du bras
\(r\dot{\theta}\,\vec{e}_\theta\)	Vitesse tangentielle	Entraînement par la rotation

Composante	Expression	Signification physique
\(\ddot{r}\,\vec{e}_r\)	Accélération radiale relative	Accélération du coulissement
\(-r\dot{\theta}^2\,\vec{e}_r\)	Accélération centripète	Dirigée vers \(O\), due à la rotation
\(r\ddot{\theta}\,\vec{e}_\theta\)	Accélération angulaire	Due à la variation de \(\dot{\theta}\)
\(2\dot{r}\dot{\theta}\,\vec{e}_\theta\)	Accélération de Coriolis	Due au couplage coulissement/rotation